Производная функции y = 5^(ctg x + x^2): Решение

Задание: Найти производную функции \( y = 5^{\text{ctg } x + x^2} \). Решение: Для нахождения производной воспользуемся формулой производной показательной функции со сложным аргументом: \[ (a^u)' = a^u \cdot \ln a \cdot u' \] В нашем случае: \( a = 5 \) \( u = \text{ctg } x + x^2 \) Найдем производную внутренней функции \( u \): \[ u' = (\text{ctg } x + x^2)' = (\text{ctg } x)' + (x^2)' \] Используя таблицу производных: \[ (\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} \] \[ (x^2)' = 2x \] Следовательно: \[ u' = -\frac{1}{\sin^2 x} + 2x \] Теперь подставим всё в основную формулу: \[ y' = 5^{\text{ctg } x + x^2} \cdot \ln 5 \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} + 2x \right) \] Для более аккуратного вида переставим множители: \[ y' = \left( 2x - \frac{1}{\sin^2 x} \right) \cdot 5^{\text{ctg } x + x^2} \cdot \ln 5 \] Ответ: \( y' = \left( 2x - \frac{1}{\sin^2 x} \right) \cdot 5^{\text{ctg } x + x^2} \cdot \ln 5 \)