Решение задачи: Определение минимального момента пары сил

Ниже представлены решения задач по теоретической механике для записи в тетрадь. Вопрос 4. Определение минимального момента пары сил. Дано: \(m = 50 \, кг\) \(R = 1 \, м\) \(\alpha = 30^{\circ}\) \(g = 10 \, м/с^2\) Решение: Чтобы удержать цилиндр на наклонной плоскости, приложенный момент \(M\) должен уравновесить момент от скатывающей составляющей силы тяжести относительно точки контакта цилиндра с поверхностью. 1. Сила тяжести \(G = m \cdot g\). 2. Скатывающая сила, действующая вдоль плоскости: \(F_{ск} = G \cdot \sin(\alpha)\). 3. Плечо этой силы относительно точки касания равно радиусу \(R\). 4. Условие равновесия моментов: \[M = F_{ск} \cdot R = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) \cdot R\] Подставим значения: \[M = 50 \cdot 10 \cdot \sin(30^{\circ}) \cdot 1 = 500 \cdot 0,5 \cdot 1 = 250 \, Н \cdot м\] Ответ: 250 Вопрос 5. Определение абсолютного ускорения точки М. Дано: \(x = 4t^2\) (переносное движение тележки) \(y_M = 3t^2 + 1\) (относительное движение точки по тележке) \(t = 1 \, с\) Решение: 1. Найдем проекции ускорений, взяв вторую производную от координат по времени: Переносное ускорение: \(a_e = x'' = (4t^2)'' = 8 \, м/с^2\). Относительное ускорение: \(a_r = y_M'' = (3t^2 + 1)'' = 6 \, м/с^2\). 2. Так как движения происходят в поперечных направлениях (взаимно перпендикулярно), и переносное движение поступательное (кориолисово ускорение \(a_c = 0\)), абсолютное ускорение \(a_a\) находится по теореме Пифагора: \[a_a = \sqrt{a_e^2 + a_r^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, м/с^2\] Ответ: 10 Вопрос 6. Угол между вектором скорости и ускорения. Дано: \(R = 1 \, м\) \(S = 4t\) \(t = 0,5 \, с\) Решение: 1. Скорость — первая производная от пути: \(v = S' = (4t)' = 4 \, м/с\). Скорость постоянна. 2. Касательное (тангенциальное) ускорение: \(a_{\tau} = v' = 4' = 0\). 3. Нормальное (центростремительное) ускорение: \[a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{4^2}{1} = 16 \, м/с^2\] 4. Так как \(a_{\tau} = 0\), полное ускорение \(a\) совпадает по направлению с нормальным ускорением \(a_n\). 5. Вектор скорости всегда направлен по касательной, а вектор нормального ускорения — по радиусу к центру (перпендикулярно касательной). Следовательно, угол между ними составляет \(90^{\circ}\). Ответ: \(90^{\circ}\)