Решение заданий с дробями и степенями

Представляю решение заданий I варианта из вашей карточки. Задание 1. Представьте в виде дроби: а) \(\frac{42x^5}{y^4} \cdot \frac{y^2}{14x^5} = \frac{42 \cdot x^5 \cdot y^2}{y^4 \cdot 14 \cdot x^5} = \frac{3}{y^2}\) б) \(\frac{63a^3b}{c} : (18a^2b) = \frac{63a^3b}{c \cdot 18a^2b} = \frac{7a}{2c}\) в) \(\frac{4a^2-1}{a^2-9} : \frac{6a+3}{a+3} = \frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{3(2a+1)} = \frac{2a-1}{3(a-3)} = \frac{2a-1}{3a-9}\) г) \(\left( -\frac{c^2d^3}{3a^4} \right)^3 = -\frac{(c^2)^3 \cdot (d^3)^3}{(3a^4)^3} = -\frac{c^6d^9}{27a^{12}}\) Задание 2. Выполните действия: а) \(\frac{a-2}{a^2} \cdot \frac{ab-a}{a-2} + \frac{2-b}{2a} = \frac{(a-2) \cdot a(b-1)}{a^2 \cdot (a-2)} + \frac{2-b}{2a} = \frac{b-1}{a} + \frac{2-b}{2a} = \frac{2(b-1) + 2-b}{2a} = \frac{2b-2+2-b}{2a} = \frac{b}{2a}\) б) \(\left( \frac{m+7}{m} - \frac{n+7}{n} \right) \cdot \frac{mn}{m^2-n^2} = \frac{n(m+7) - m(n+7)}{mn} \cdot \frac{mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{mn+7n-mn-7m}{mn} \cdot \frac{mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{7(n-m)}{(m-n)(m+n)} = \frac{-7(m-n)}{(m-n)(m+n)} = -\frac{7}{m+n}\) Задание 3. Упростите выражение: \(\left( c-4 + \frac{32}{c+4} \right) \cdot \frac{c^2+8c+16}{c^2+16} = \frac{(c-4)(c+4)+32}{c+4} \cdot \frac{(c+4)^2}{c^2+16} = \frac{c^2-16+32}{c+4} \cdot \frac{(c+4)^2}{c^2+16} = \frac{c^2+16}{c+4} \cdot \frac{(c+4)^2}{c^2+16} = c+4\) Задание 4. Докажите тождество: \(\left( \frac{6a}{2a+5} - \frac{16a}{4a^2+20a+25} \right) : \frac{6a+7}{4a^2-25} + \frac{10a-25}{2a+5} = 2a-5\) 1) Действие в скобках: \(\frac{6a}{2a+5} - \frac{16a}{(2a+5)^2} = \frac{6a(2a+5) - 16a}{(2a+5)^2} = \frac{12a^2+30a-16a}{(2a+5)^2} = \frac{12a^2+14a}{(2a+5)^2} = \frac{2a(6a+7)}{(2a+5)^2}\) 2) Деление: \(\frac{2a(6a+7)}{(2a+5)^2} : \frac{6a+7}{(2a-5)(2a+5)} = \frac{2a(6a+7)}{(2a+5)^2} \cdot \frac{(2a-5)(2a+5)}{6a+7} = \frac{2a(2a-5)}{2a+5} = \frac{4a^2-10a}{2a+5}\) 3) Сложение: \(\frac{4a^2-10a}{2a+5} + \frac{10a-25}{2a+5} = \frac{4a^2-10a+10a-25}{2a+5} = \frac{4a^2-25}{2a+5} = \frac{(2a-5)(2a+5)}{2a+5} = 2a-5\) Тождество доказано: \(2a-5 = 2a-5\).