Решение задачи: Сумма внешних углов n-угольника

Задача: Сумма внешних углов выпуклого \(n\)-угольника на \(360^\circ\) меньше суммы его внутренних углов. Найдите \(n\). Решение: 1. Известно, что сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника (взятых по одному при каждой вершине) всегда равна \(360^\circ\). Обозначим её как \(S_{внеш}\): \[S_{внеш} = 360^\circ\] 2. Сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника вычисляется по формуле: \[S_{внутр} = 180^\circ \cdot (n - 2)\] 3. По условию задачи сумма внешних углов на \(360^\circ\) меньше суммы внутренних углов. Это можно записать в виде уравнения: \[S_{внутр} - S_{внеш} = 360^\circ\] 4. Подставим известные значения в уравнение: \[180^\circ \cdot (n - 2) - 360^\circ = 360^\circ\] 5. Решим полученное уравнение: Перенесем \(-360^\circ\) в правую часть: \[180^\circ \cdot (n - 2) = 360^\circ + 360^\circ\] \[180^\circ \cdot (n - 2) = 720^\circ\] Разделим обе части уравнения на \(180^\circ\): \[n - 2 = \frac{720^\circ}{180^\circ}\] \[n - 2 = 4\] Находим \(n\): \[n = 4 + 2\] \[n = 6\] Таким образом, данный многоугольник является шестиугольником. Ответ: \(n = 6\).