Решение Определенных Интегралов: Пример из Тетради

Ниже представлено решение трех интегралов с картинки, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Вычислить определенный интеграл: \[ \int_{0}^{3} (x^2 + (x-3)^3) dx \] Решение: Воспользуемся свойством линейности интеграла и найдем первообразную для каждого слагаемого: \[ \int_{0}^{3} x^2 dx + \int_{0}^{3} (x-3)^3 dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} + \frac{(x-3)^4}{4} \right) \right|_0^3 \] Подставим верхний и нижний пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница: \[ \left( \frac{3^3}{3} + \frac{(3-3)^4}{4} \right) - \left( \frac{0^3}{3} + \frac{(0-3)^4}{4} \right) = \] \[ = \left( \frac{27}{3} + 0 \right) - \left( 0 + \frac{(-3)^4}{4} \right) = 9 - \frac{81}{4} = 9 - 20,25 = -11,25 \] Ответ: -11,25. Задание 2. Вычислить определенный интеграл: \[ \int_{0}^{4} \left( \sqrt{x} + \frac{1}{x+1} \right) dx \] Решение: Представим корень в виде степени \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) и найдем первообразную: \[ \int_{0}^{4} (x^{1/2} + \frac{1}{x+1}) dx = \left. \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} + \ln|x+1| \right) \right|_0^4 = \left. \left( \frac{2\sqrt{x^3}}{3} + \ln|x+1| \right) \right|_0^4 \] Подставим пределы: \[ \left( \frac{2\sqrt{4^3}}{3} + \ln(4+1) \right) - \left( \frac{2\sqrt{0^3}}{3} + \ln(0+1) \right) = \] \[ = \left( \frac{2 \cdot 8}{3} + \ln 5 \right) - (0 + \ln 1) = \frac{16}{3} + \ln 5 \approx 5,33 + 1,61 = 6,94 \] Ответ: \( \frac{16}{3} + \ln 5 \). Задание 3. Вычислить определенный интеграл: \[ \int_{1}^{4} \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x}} dx \] Решение: Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель: \[ \int_{1}^{4} \left( \frac{x^2}{x^{1/2}} + \frac{1}{x^{1/2}} \right) dx = \int_{1}^{4} (x^{3/2} + x^{-1/2}) dx \] Находим первообразную: \[ \left. \left( \frac{x^{5/2}}{5/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} \right) \right|_1^4 = \left. \left( \frac{2\sqrt{x^5}}{5} + 2\sqrt{x} \right) \right|_1^4 \] Подставим пределы: \[ \left( \frac{2\sqrt{4^5}}{5} + 2\sqrt{4} \right) - \left( \frac{2\sqrt{1^5}}{5} + 2\sqrt{1} \right) = \] \[ = \left( \frac{2 \cdot 32}{5} + 2 \cdot 2 \right) - \left( \frac{2}{5} + 2 \right) = \left( \frac{64}{5} + 4 \right) - \left( 0,4 + 2 \right) = \] \[ = (12,8 + 4) - 2,4 = 16,8 - 2,4 = 14,4 \] Ответ: 14,4.