Решение: √x = 6 - x² Графическим методом

Контрольная работа: Графический метод решения иррациональных и показательных уравнений и неравенств. Вариант 1. Задание 1. Выяснить с помощью графика, сколько корней имеет уравнение: \[ \sqrt{x} = 6 - x^2 \] Решение: Для решения построим графики двух функций: 1) \( y_1 = \sqrt{x} \). Область определения: \( x \ge 0 \). Это ветвь параболы, направленная вправо. Точки для построения: (0; 0), (1; 1), (4; 2). 2) \( y_2 = 6 - x^2 \). Это парабола, ветви которой направлены вниз, вершина находится в точке (0; 6). Точки для построения: (0; 6), (1; 5), (2; 2), (3; -3). При \( x \ge 0 \) график функции \( y_1 \) монотонно возрастает, а график функции \( y_2 \) монотонно убывает. Следовательно, они могут иметь не более одной точки пересечения. Анализируя значения функций: При \( x = 2 \): \( y_1 = \sqrt{2} \approx 1,41 \), а \( y_2 = 6 - 2^2 = 2 \). Значит, \( y_1 < y_2 \). При \( x = 3 \): \( y_1 = \sqrt{3} \approx 1,73 \), а \( y_2 = 6 - 3^2 = -3 \). Значит, \( y_1 > y_2 \). Так как на промежутке [2; 3] знаки разности функций меняются, графики пересекаются ровно в одной точке. Ответ: уравнение имеет 1 корень. Задание 2. Решить графически неравенства: А) \( 5^x \le -x + 6 \) Решение: Построим графики функций: 1) \( y_1 = 5^x \) — показательная функция, возрастает. Проходит через точки (0; 1), (1; 5). 2) \( y_2 = -x + 6 \) — линейная функция (прямая). Проходит через точки (0; 6), (1; 5), (6; 0). Найдем точку пересечения графиков. Из подбора точек видно, что при \( x = 1 \) обе функции принимают значение 5: \( 5^1 = 5 \) и \( -1 + 6 = 5 \). Точка пересечения — (1; 5). По условию нам нужно найти значения \( x \), при которых график \( y_1 \) лежит ниже или на уровне графика \( y_2 \). Так как \( y_1 \) возрастает, а \( y_2 \) убывает, то условие \( 5^x \le -x + 6 \) выполняется при всех \( x \), меньших или равных абсциссе точки пересечения. Следовательно, \( x \le 1 \). Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \). Б) \( (\frac{1}{4})^x > 3x + 1 \) Решение: Построим графики функций: 1) \( y_1 = (\frac{1}{4})^x \) — показательная функция, убывает. Проходит через точки (-1; 4), (0; 1), (1; 0,25). 2) \( y_2 = 3x + 1 \) — линейная функция. Проходит через точки (0; 1), (1; 4). Найдем точку пересечения. При \( x = 0 \): \( y_1 = (\frac{1}{4})^0 = 1 \) \( y_2 = 3 \cdot 0 + 1 = 1 \) Точка пересечения — (0; 1). Нам нужно найти промежуток, где график показательной функции \( y_1 \) находится выше прямой \( y_2 \). Слева от точки \( x = 0 \) (при отрицательных \( x \)) значения \( (\frac{1}{4})^x \) будут больше 1, а значения \( 3x + 1 \) будут меньше 1. Справа от точки \( x = 0 \) (при положительных \( x \)) показательная функция стремится к нулю, а прямая уходит вверх. Значит, неравенство верно при \( x < 0 \). Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \).