Решение задач на нахождение производной

Производная. Найти производную. 1) \( f(x) = x^2 + x^3 \) \[ f'(x) = (x^2)' + (x^3)' = 2x + 3x^2 \] 2) \( f(x) = x^2 + 3x - 1 \) \[ f'(x) = (x^2)' + (3x)' - (1)' = 2x + 3 \] 3) \( f(x) = \frac{1}{x} + 5x - 2 \) \[ f'(x) = (\frac{1}{x})' + (5x)' - (2)' = -\frac{1}{x^2} + 5 \] 4) \( f(x) = x^3 + \sqrt{x} \) \[ f'(x) = (x^3)' + (\sqrt{x})' = 3x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x}} \] Найти значение x, при котором \( f'(x) = 0 \): 5) \( f(x) = x^3 + 2x + 1 \) \[ f'(x) = 3x^2 + 2 \] Уравнение \( 3x^2 + 2 = 0 \) не имеет действительных корней, так как \( 3x^2 \geq 0 \), а значит \( 3x^2 + 2 \geq 2 \). 6) \( f(x) = 2x^2 + 1 \) \[ f'(x) = 4x \] \[ 4x = 0 \implies x = 0 \] 7) \( f(x) = x^2 + x + 5 \) \[ f'(x) = 2x + 1 \] \[ 2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0,5 \] 8) \( f(x) = x^3 + \sqrt{x} \) (из задания 4) \[ f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x}} \] При \( x > 0 \) оба слагаемых положительны, поэтому \( f'(x) = 0 \) не имеет решений в области определения. Дополнительно (в углу тетради): \( (x^2 + 4x + 5)' = 2x + 4 \)