Решение задачи: S(t) = t^3 + 3t - 4. Найти S(4) и v(4)

Вариант 1 Задача 1. Дано: \[ S(t) = t^3 + 3t - 4 \] Найти: \( S(4) \), \( v(4) \). Решение: 1) Чтобы найти путь, пройденный телом за 4 секунды, подставим \( t = 4 \) в уравнение движения: \[ S(4) = 4^3 + 3 \cdot 4 - 4 = 64 + 12 - 4 = 72 \text{ (м)} \] 2) Скорость — это производная от пути по времени: \[ v(t) = S'(t) = (t^3 + 3t - 4)' = 3t^2 + 3 \] Найдем скорость в момент времени \( t = 4 \): \[ v(4) = 3 \cdot 4^2 + 3 = 3 \cdot 16 + 3 = 48 + 3 = 51 \text{ (м/с)} \] Ответ: 72 м; 51 м/с. Задача 2. Дано: \[ x(t) = 3000 + 100t^2 \] \[ v_{роста} = 600 \text{ ос/сек} \] Найти: \( t \). Решение: Скорость роста популяции — это производная функции \( x(t) \): \[ v(t) = x'(t) = (3000 + 100t^2)' = 200t \] По условию скорость равна 600: \[ 200t = 600 \] \[ t = \frac{600}{200} = 3 \text{ (сек)} \] Ответ: 3 сек. Задача 3. Дано: \[ V(t) = -\frac{5}{3}t^3 + \frac{15}{2}t^2 + 50t + 70 \] Найти: \( \Pi(2) \). Решение: Производительность труда \( \Pi(t) \) есть производная от объема продукции \( V(t) \): \[ \Pi(t) = V'(t) = \left(-\frac{5}{3}t^3 + \frac{15}{2}t^2 + 50t + 70\right)' \] \[ \Pi(t) = -\frac{5}{3} \cdot 3t^2 + \frac{15}{2} \cdot 2t + 50 = -5t^2 + 15t + 50 \] Вычислим производительность при \( t = 2 \): \[ \Pi(2) = -5 \cdot 2^2 + 15 \cdot 2 + 50 = -5 \cdot 4 + 30 + 50 = -20 + 80 = 60 \text{ (ед./ч)} \] Ответ: 60 ед./ч. Задача 4. Дано: \[ g(t) = \frac{1}{9}t^3 - \frac{5}{2}t^2 \] \[ a = 3 \text{ м/с}^2 \] Найти: \( t \). Решение: 1) Найдем скорость как первую производную: \[ v(t) = g'(t) = \left(\frac{1}{9}t^3 - \frac{5}{2}t^2\right)' = \frac{1}{9} \cdot 3t^2 - \frac{5}{2} \cdot 2t = \frac{1}{3}t^2 - 5t \] 2) Найдем ускорение как производную от скорости: \[ a(t) = v'(t) = \left(\frac{1}{3}t^2 - 5t\right)' = \frac{2}{3}t - 5 \] 3) По условию ускорение равно 3: \[ \frac{2}{3}t - 5 = 3 \] \[ \frac{2}{3}t = 8 \] \[ t = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12 \text{ (сек)} \] Ответ: 12 сек.