Решение задачи на кодирование с условием Фано: И, К, Л, М, Н

Для кодирования последовательности из букв И, К, Л, М, Н используется неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Дано: Буква И: \( 0 \) Буква К: \( 10 \) Всего букв: 5 (И, К, Л, М, Н) Найти: Минимально возможная суммарная длина всех пяти кодовых слов. Решение: 1. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого. Построим дерево кодов. 2. Код \( 0 \) (буква И) занят. Это значит, что вся ветка, начинающаяся с \( 0 \), больше не может быть использована для других букв. 3. Код \( 10 \) (буква К) занят. Это значит, что ветка, начинающаяся с \( 10 \), закрыта. 4. У нас остались свободные узлы, начинающиеся с \( 11 \). Нам нужно разместить еще 3 буквы (Л, М, Н). 5. Чтобы минимизировать суммарную длину, будем разветвлять узел \( 11 \): - Из узла \( 11 \) получаем \( 110 \) и \( 111 \). - Один из них (например, \( 110 \)) отдаем под букву Л. - Второй (\( 111 \)) разветвляем дальше, чтобы получить еще два кода: \( 1110 \) и \( 1111 \). - Отдаем их под буквы М и Н. 6. Получаем следующие коды: И: \( 0 \) (длина 1) К: \( 10 \) (длина 2) Л: \( 110 \) (длина 3) М: \( 1110 \) (длина 4) Н: \( 1111 \) (длина 4) 7. Вычислим суммарную длину: \[ \Sigma = 1 + 2 + 3 + 4 + 4 = 14 \] Проверим, можно ли сделать короче. Если бы мы разветвили \( 11 \) на \( 110 \) и \( 111 \), нам бы не хватило кодов для трех букв без дальнейшего ветвления. Данная комбинация длин (1, 2, 3, 4, 4) является оптимальной для дерева. Ответ: 14