Решение задачи: Сумма двух чисел и сумма их квадратов

Ниже представлены решения задач с фотографий, оформленные для переписывания в тетрадь. Задача 5. Сумма двух чисел равна 19, а сумма их квадратов равна 193. Найдите большее из этих чисел. Решение: Пусть \(x\) и \(y\) — искомые числа. Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 19 \\ x^2 + y^2 = 193 \end{cases} \] Выразим \(y\) из первого уравнения: \(y = 19 - x\). Подставим во второе уравнение: \[ x^2 + (19 - x)^2 = 193 \] \[ x^2 + 361 - 38x + x^2 = 193 \] \[ 2x^2 - 38x + 168 = 0 \] Разделим всё уравнение на 2: \[ x^2 - 19x + 84 = 0 \] По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 19 \\ x_1 \cdot x_2 = 84 \end{cases} \] Корнями являются числа 7 и 12. Если \(x = 12\), то \(y = 19 - 12 = 7\). Большее из чисел равно 12. Ответ: 12. Задача 6. Сравните числа \(\sqrt{17} - \sqrt{14}\) и \(\sqrt{26} - \sqrt{23}\). Решение: Рассмотрим сопряженные выражения. Умножим и разделим каждое число на сумму соответствующих корней: \[ \sqrt{17} - \sqrt{14} = \frac{(\sqrt{17} - \sqrt{14})(\sqrt{17} + \sqrt{14})}{\sqrt{17} + \sqrt{14}} = \frac{17 - 14}{\sqrt{17} + \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{17} + \sqrt{14}} \] \[ \sqrt{26} - \sqrt{23} = \frac{(\sqrt{26} - \sqrt{23})(\sqrt{26} + \sqrt{23})}{\sqrt{26} + \sqrt{23}} = \frac{26 - 23}{\sqrt{26} + \sqrt{23}} = \frac{3}{\sqrt{26} + \sqrt{23}} \] Сравним полученные дроби. Так как \(\sqrt{26} > \sqrt{17}\) и \(\sqrt{23} > \sqrt{14}\), то знаменатель второй дроби больше: \[ \sqrt{26} + \sqrt{23} > \sqrt{17} + \sqrt{14} \] При одинаковых числителях та дробь меньше, у которой знаменатель больше. Следовательно: \[ \frac{3}{\sqrt{17} + \sqrt{14}} > \frac{3}{\sqrt{26} + \sqrt{23}} \] Значит, \(\sqrt{17} - \sqrt{14} > \sqrt{26} - \sqrt{23}\). Ответ: \(\sqrt{17} - \sqrt{14} > \sqrt{26} - \sqrt{23}\). Задача 8. Правильный игральный кубик подбрасывают дважды. Найдите вероятность события «сумма выпавших очков равна 9 или 10». Решение: При двух бросках кубика общее число исходов равно \(6 \cdot 6 = 36\). Выпишем благоприятные исходы: Для суммы 9: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3) — всего 4 исхода. Для суммы 10: (4;6), (5;5), (6;4) — всего 3 исхода. Общее количество благоприятных исходов: \(4 + 3 = 7\). Вероятность события: \[ P = \frac{7}{36} \] Ответ: \(\frac{7}{36}\). Задача 9. Найдите медиану величины «диастолическое артериальное давление» по таблице частот. Решение: Медиана — это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Сумма всех частот в таблице: \[ 0,02 + 0,05 + 0,15 + 0,35 + 0,22 + 0,18 + 0,03 = 1,00 \] Накопленные частоты: до 50: 0,02 до 60: 0,02 + 0,05 = 0,07 до 70: 0,07 + 0,15 = 0,22 до 80: 0,22 + 0,35 = 0,57 Так как накопленная частота впервые превышает 0,5 на значении 80, то медиана попадает в этот интервал. Ответ: 80. Задача 10. Дисперсия показаний составляет \(0,1 \text{ кг}^2\). Выразите дисперсию в квадратных фунтах (\(\text{lb}^2\)), если \(1 \text{ lb} = 0,45 \text{ кг}\). Решение: Если величина \(X\) измеряется в кг, а величина \(Y\) в фунтах, то \(X = 0,45Y\). Дисперсия обладает свойством: \(D(kY) = k^2 D(Y)\). В нашем случае \(D(X) = 0,1\). \[ 0,1 = (0,45)^2 \cdot D(Y) \] \[ D(Y) = \frac{0,1}{0,45^2} = \frac{0,1}{0,2025} \approx 0,4938... \] Округляем до сотых: 0,49. Ответ: 0,49.