Решение показательных уравнений

Решение показательных уравнений из задания: Задание 12. \[ 2^{x+3} - 2^x = 112 \] Воспользуемся свойством степени \( a^{n+m} = a^n \cdot a^m \): \[ 2^x \cdot 2^3 - 2^x = 112 \] \[ 2^x \cdot 8 - 2^x = 112 \] Вынесем \( 2^x \) за скобки: \[ 2^x (8 - 1) = 112 \] \[ 2^x \cdot 7 = 112 \] Разделим обе части на 7: \[ 2^x = 16 \] Так как \( 16 = 2^4 \), то: \[ 2^x = 2^4 \] \[ x = 4 \] Ответ: 4. Задание 13. \[ 4^x - 14 \cdot 2^x - 32 = 0 \] Заметим, что \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \). Введем замену переменной \( t = 2^x \), где \( t > 0 \): \[ t^2 - 14t - 32 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324 = 18^2 \] \[ t_1 = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16 \] \[ t_2 = \frac{14 - 18}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] Так как \( t > 0 \), корень \( t_2 = -2 \) не подходит. Вернемся к замене: \[ 2^x = 16 \] \[ 2^x = 2^4 \] \[ x = 4 \] Ответ: 4. Задание 14. \[ 9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0 \] Заметим, что \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \). Введем замену переменной \( t = 3^x \), где \( t > 0 \): \[ t^2 - 4t + 3 = 0 \] По теореме Виета: \[ t_1 + t_2 = 4 \] \[ t_1 \cdot t_2 = 3 \] Отсюда корнями являются: \[ t_1 = 3, \quad t_2 = 1 \] Оба корня положительны. Вернемся к замене: 1) \( 3^x = 3^1 \Rightarrow x_1 = 1 \) 2) \( 3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x_2 = 0 \) Ответ: 0; 1.