Решение задачи: прямая, параллельная стороне треугольника

Дано: Прямая параллельна стороне треугольника. Отношение площади отсечённого треугольника \(S_{1}\) к площади трапеции \(S_{tr}\) равно \(9 : 16\). Периметр исходного треугольника \(P_{abc} = 21\) см. Найти: периметр отсечённого треугольника \(P_{1}\). Решение: 1. Пусть \(S_{1}\) — площадь отсечённого треугольника, а \(S_{tr}\) — площадь трапеции. По условию: \[\frac{S_{1}}{S_{tr}} = \frac{9}{16}\] Это значит, что если \(S_{1} = 9x\), то \(S_{tr} = 16x\). 2. Площадь всего исходного треугольника \(S_{abc}\) равна сумме площадей отсечённого треугольника и трапеции: \[S_{abc} = S_{1} + S_{tr} = 9x + 16x = 25x\] 3. Отсечённый треугольник подобен исходному, так как прямая параллельна стороне. Известно, что площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия \(k\): \[\frac{S_{1}}{S_{abc}} = k^2\] \[k^2 = \frac{9x}{25x} = \frac{9}{25}\] 4. Находим коэффициент подобия \(k\), извлекая корень: \[k = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\] 5. Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия: \[\frac{P_{1}}{P_{abc}} = k\] \[\frac{P_{1}}{21} = \frac{3}{5}\] 6. Вычисляем периметр отсечённого треугольника: \[P_{1} = \frac{21 \cdot 3}{5} = \frac{63}{5} = 12,6 \text{ см}\] Ответ: 12,6.