Решение задачи: Вероятность выбора дефектных деталей

Задача 1 Дано: Всего деталей: \( N = 30 \) Дефектных деталей: \( K = 6 \) Стандартных деталей: \( N - K = 30 - 6 = 24 \) Извлекают деталей: \( n = 7 \) Событие А: выпадет ровно 2 дефектные детали. Событие B: выпадет ровно 3 дефектные детали. Найти: \( \frac{P(A)}{P(B)} \) Решение: Для вычисления вероятностей используем классическое определение вероятности и формулу сочетаний: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Вероятность события А (2 дефектные из 6 и 5 стандартных из 24): \[ P(A) = \frac{C_6^2 \cdot C_{24}^5}{C_{30}^7} \] Вероятность события B (3 дефектные из 6 и 4 стандартные из 24): \[ P(B) = \frac{C_6^3 \cdot C_{24}^4}{C_{30}^7} \] Чтобы найти, во сколько раз \( P(A) \) больше \( P(B) \), составим отношение: \[ \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{C_6^2 \cdot C_{24}^5}{C_{30}^7} : \frac{C_6^3 \cdot C_{24}^4}{C_{30}^7} = \frac{C_6^2 \cdot C_{24}^5}{C_6^3 \cdot C_{24}^4} \] Распишем сочетания: \[ C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{1 \cdot 2} = 15 \] \[ C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 20 \] \[ C_{24}^5 = \frac{24!}{5! \cdot 19!} \] \[ C_{24}^4 = \frac{24!}{4! \cdot 20!} \] Подставим в отношение: \[ \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{15}{20} \cdot \frac{24!}{5! \cdot 19!} \cdot \frac{4! \cdot 20!}{24!} \] \[ \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4! \cdot 20 \cdot 19!}{5 \cdot 4! \cdot 19!} = \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{5} \] \[ \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3 \] Ответ: в 3 раза.