Решение уравнения x^3 - 25x = 0 и (3y+2)/(4y^2+y) + (y-3)/(16y^2-1) = 3/(4y-1)

Задание 1. Решите уравнение. а) \(x^3 - 25x = 0\) Решение: Вынесем общий множитель \(x\) за скобки: \[x(x^2 - 25) = 0\] Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \[x(x - 5)(x + 5) = 0\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \(x_1 = 0\) 2) \(x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5\) 3) \(x + 5 = 0 \Rightarrow x_3 = -5\) Ответ: \(-5; 0; 5\). б) \(\frac{3y + 2}{4y^2 + y} + \frac{y - 3}{16y^2 - 1} = \frac{3}{4y - 1}\) Решение: Разложим знаменатели на множители: \(4y^2 + y = y(4y + 1)\) \(16y^2 - 1 = (4y - 1)(4y + 1)\) Уравнение примет вид: \[\frac{3y + 2}{y(4y + 1)} + \frac{y - 3}{(4y - 1)(4y + 1)} - \frac{3}{4y - 1} = 0\] Найдем область допустимых значений (ОДЗ): \(y \neq 0\); \(4y + 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq -0,25\); \(4y - 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 0,25\). Приведем к общему знаменателю \(y(4y - 1)(4y + 1)\): \[\frac{(3y + 2)(4y - 1) + y(y - 3) - 3y(4y + 1)}{y(4y - 1)(4y + 1)} = 0\] Раскроем скобки в числителе: \[12y^2 - 3y + 8y - 2 + y^2 - 3y - 12y^2 - 3y = 0\] Приведем подобные слагаемые: \[y^2 - y - 2 = 0\] По теореме Виета: \(y_1 + y_2 = 1\) \(y_1 \cdot y_2 = -2\) Отсюда \(y_1 = 2\), \(y_2 = -1\). Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: \(-1; 2\). Задание 2. Решите неравенство. а) \(2x^2 - x - 15 > 0\) Решение: Рассмотрим функцию \(f(x) = 2x^2 - x - 15\). Найдем нули функции: \[2x^2 - x - 15 = 0\] \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2\) \[x_1 = \frac{1 + 11}{4} = 3\] \[x_2 = \frac{1 - 11}{4} = -2,5\] Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Функция положительна на интервалах: \[x \in (-\infty; -2,5) \cup (3; +\infty)\] Ответ: \((-\infty; -2,5) \cup (3; +\infty)\). б) \(x^2 < 16\) Решение: Перенесем 16 в левую часть: \[x^2 - 16 < 0\] \[(x - 4)(x + 4) < 0\] Нули функции: \(x = 4\) и \(x = -4\). Методом интервалов определяем знаки: на интервале \((-4; 4)\) выражение отрицательно. Ответ: \((-4; 4)\).