Решение квадратного неравенства 7x-x^2 ≥ 0

Решение квадратных неравенств. 5) \( 7x - x^2 \geqslant 0 \) Перепишем неравенство в стандартном виде: \[ -x^2 + 7x \geqslant 0 \] Умножим обе части на \(-1\), при этом знак неравенства изменится на противоположный: \[ x^2 - 7x \leqslant 0 \] Разложим левую часть на множители, вынеся \(x\) за скобки: \[ x(x - 7) \leqslant 0 \] Найдем корни соответствующего уравнения \( x(x - 7) = 0 \): \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 7 \] Эти точки делят числовую прямую на интервалы. Определим знаки выражения \( x(x - 7) \) на каждом интервале: 1. При \( x < 0 \) (например, \( -1 \)): \( (-1) \cdot (-1 - 7) = 8 > 0 \) 2. При \( 0 < x < 7 \) (например, \( 1 \)): \( 1 \cdot (1 - 7) = -6 < 0 \) 3. При \( x > 7 \) (например, \( 8 \)): \( 8 \cdot (8 - 7) = 8 > 0 \) Так как нам нужно \( \leqslant 0 \), выбираем средний интервал. Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое. Ответ: \( x \in [0; 7] \) 6) \( 15 - 2x - x^2 > 0 \) Перепишем в стандартном виде: \[ -x^2 - 2x + 15 > 0 \] Умножим на \(-1\), меняя знак неравенства: \[ x^2 + 2x - 15 < 0 \] Найдем корни уравнения \( x^2 + 2x - 15 = 0 \) через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \] \[ \sqrt{D} = 8 \] \[ x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] Разложим на множители: \[ (x - 3)(x + 5) < 0 \] Определим знаки на интервалах: 1. При \( x < -5 \): \( (-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9 > 0 \) 2. При \( -5 < x < 3 \): \( (0 - 3)(0 + 5) = -15 < 0 \) 3. При \( x > 3 \): \( (4 - 3)(4 + 5) = 9 > 0 \) Нам нужно \( < 0 \). Точки выколотые, так как неравенство строгое. Ответ: \( x \in (-5; 3) \)