Решение Контрольной Работы №1, Вариант 1

Контрольная работа № 1 Вариант 1 Задание 1. Вычислите: а) \( \sin \frac{7\pi}{3} = \sin (2\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) б) \( \cos (-\frac{5\pi}{4}) = \cos \frac{5\pi}{4} = \cos (\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) в) \( \text{tg} (-\frac{13\pi}{6}) = -\text{tg} \frac{13\pi}{6} = -\text{tg} (2\pi + \frac{\pi}{6}) = -\text{tg} \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \) г) \( \text{ctg} 13,5\pi = \text{ctg} (13\pi + 0,5\pi) = \text{ctg} \frac{\pi}{2} = 0 \) Задание 2. Решите уравнения: а) \( \sin t = \frac{1}{2} \) \[ t = (-1)^k \arcsin \frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] б) \( \cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) \[ t = \pm \arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ t = \pm (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \] Задание 3. Упростите выражение: \( \text{ctg} t \cdot \sin (-t) + \cos (2\pi - t) = \) \( = \frac{\cos t}{\sin t} \cdot (-\sin t) + \cos t = \) \( = -\cos t + \cos t = 0 \) Задание 4. Докажите тождество: \[ \frac{\text{ctg} t}{\text{tg} t + \text{ctg} t} = \cos^2 t \] Левая часть: \[ \frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t}} = \frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{1}{\sin t \cos t}} = \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \sin t \cos t = \cos^2 t \] \( \cos^2 t = \cos^2 t \). Тождество доказано. Задание 5. Вычислите: \( 2 \sin 870^\circ + \sqrt{12} \cdot \cos 570^\circ - \text{tg}^2 60^\circ = \) \( = 2 \sin (720^\circ + 150^\circ) + \sqrt{12} \cdot \cos (360^\circ + 210^\circ) - (\sqrt{3})^2 = \) \( = 2 \sin 150^\circ + 2\sqrt{3} \cdot \cos 210^\circ - 3 = \) \( = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 3 = \) \( = 1 - 3 - 3 = -5 \) Задание 6. Дано: \( \sin t = \frac{4}{5} \), \( \frac{\pi}{2} < t < \pi \) (II четверть). 1) \( \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \) Так как \( t \) во II четверти, \( \cos t < 0 \): \( \cos t = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \) 2) \( \text{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3} \) 3) \( \text{ctg} t = \frac{1}{\text{tg} t} = -\frac{3}{4} \) Задание 7. Существует ли такое число \( t \), что \( \sin t = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \)? Для существования \( t \) необходимо, чтобы \( |\sin t| \le 1 \). Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[ \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{7 - 3} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4} \] Оценим значение: \( \sqrt{7} \approx 2,64 \), \( \sqrt{3} \approx 1,73 \). \[ \frac{2,64 + 1,73}{4} = \frac{4,37}{4} = 1,0925 \] Так как \( 1,0925 > 1 \), то такое число \( t \) не существует.