Решение задачи: построение окружностей по уравнениям

Ниже представлено решение задач из контрольной работы (II вариант), оформленное для записи в тетрадь. Общий вид уравнения окружности: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] где \( (a; b) \) — координаты центра, \( R \) — радиус. Задание 1. Начертите окружности. Для построения в тетради определим параметры: а) \( (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4 \). Центр \( O_1(-3; 2) \), радиус \( R = \sqrt{4} = 2 \). б) \( (x - 5)^2 + y^2 = 16 \). Центр \( O_2(5; 0) \), радиус \( R = \sqrt{16} = 4 \). в) \( x^2 + y^2 = 9 \). Центр \( O_3(0; 0) \), радиус \( R = \sqrt{9} = 3 \). Задание 2. Как расположены точки относительно окружности \( (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 \). Подставим координаты точек в левую часть уравнения и сравним с \( R^2 = 25 \). Для точки \( A(-2; 6) \): \[ (-2 + 2)^2 + (6 - 1)^2 = 0^2 + 5^2 = 25 \] Так как \( 25 = 25 \), точка \( A \) лежит на окружности. Для точки \( B(-6; 4) \): \[ (-6 + 2)^2 + (4 - 1)^2 = (-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \] Так как \( 25 = 25 \), точка \( B \) также лежит на окружности. Задание 3. Напишите уравнение окружности с центром \( C(7; -4) \) и радиусом \( R = 6 \). Подставляем значения в общую формулу: \[ (x - 7)^2 + (y - (-4))^2 = 6^2 \] \[ (x - 7)^2 + (y + 4)^2 = 36 \] Задание 4. Напишите уравнение окружности с центром \( A(-4; -2) \), проходящей через \( B(-2; 1) \). 1) Найдем квадрат радиуса как квадрат расстояния между точками \( A \) и \( B \): \[ R^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 \] \[ R^2 = (-2 - (-4))^2 + (1 - (-2))^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \] 2) Запишем уравнение: \[ (x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 13 \] Задание 5. Напишите уравнение окружности с диаметром \( MN \), если \( M(-1; -5) \), \( N(3; 1) \). 1) Центр окружности \( O(x_0; y_0) \) — это середина отрезка \( MN \): \[ x_0 = \frac{-1 + 3}{2} = 1; \quad y_0 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \] Центр в точке \( O(1; -2) \). 2) Найдем квадрат радиуса (расстояние от центра \( O \) до точки \( N \)): \[ R^2 = (3 - 1)^2 + (1 - (-2))^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \] 3) Уравнение окружности: \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 13 \]