Решение задач с дробями и степенями

Ниже представлены решения задач с карточки. 1. Выполните действия: \(\frac{24d^2}{t^9} \cdot \frac{t^2}{27d^7}\) Решение: \[ \frac{24d^2 \cdot t^2}{t^9 \cdot 27d^7} = \frac{24}{27} \cdot \frac{d^2}{d^7} \cdot \frac{t^2}{t^9} = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{d^5} \cdot \frac{1}{t^7} = \frac{8}{9d^5t^7} \] Ответ: \(\frac{8}{9d^5t^7}\) 2. Выполните действия: \(\frac{20d^9}{p^4} \cdot \frac{p^5}{4d^7}\) Решение: \[ \frac{20d^9 \cdot p^5}{p^4 \cdot 4d^7} = \frac{20}{4} \cdot \frac{d^9}{d^7} \cdot \frac{p^5}{p^4} = 5 \cdot d^2 \cdot p = 5d^2p \] Ответ: \(5d^2p\) 3. Выполните действия: \(24f^2 \cdot \frac{y^9}{9f^8}\) Решение: \[ \frac{24f^2 \cdot y^9}{9f^8} = \frac{24}{9} \cdot \frac{f^2}{f^8} \cdot y^9 = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{f^6} \cdot y^9 = \frac{8y^9}{3f^6} \] Ответ: \(\frac{8y^9}{3f^6}\) 4. Выполните действия: \(16g^9 \cdot \frac{s^3}{18g^9}\) Решение: \[ \frac{16g^9 \cdot s^3}{18g^9} = \frac{16}{18} \cdot \frac{g^9}{g^9} \cdot s^3 = \frac{8}{9} \cdot 1 \cdot s^3 = \frac{8s^3}{9} \] Ответ: \(\frac{8s^3}{9}\) 5. Выполните действия: \(\frac{25c^2-81}{18s+16c} \cdot \frac{9s+8c}{5c-9}\) Решение: Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), а в знаменателе вынесем 2 за скобки: \[ \frac{(5c-9)(5c+9)}{2(9s+8c)} \cdot \frac{9s+8c}{5c-9} \] Сократим на \((5c-9)\) и на \((9s+8c)\): \[ \frac{5c+9}{2} \] Ответ: \(\frac{5c+9}{2}\) 6. Выполните действия: \(\frac{5g-20}{36g^2-16} \cdot \frac{6g+4}{g-4}\) Решение: Вынесем общие множители и разложим разность квадратов: \[ \frac{5(g-4)}{(6g-4)(6g+4)} \cdot \frac{6g+4}{g-4} \] Сократим на \((g-4)\) и на \((6g+4)\): \[ \frac{5}{6g-4} \] Ответ: \(\frac{5}{6g-4}\) 7. Выполните действия: \(\frac{49n^2+70n+25}{5f+1} \cdot \frac{5f+1}{28n+20}\) Решение: Числитель первой дроби — это полный квадрат \((7n+5)^2\). В знаменателе второй дроби вынесем 4: \[ \frac{(7n+5)^2}{5f+1} \cdot \frac{5f+1}{4(7n+5)} \] Сократим на \((5f+1)\) и на \((7n+5)\): \[ \frac{7n+5}{4} \] Ответ: \(\frac{7n+5}{4}\) 8. Выполните действия: \(\frac{6d-5n}{81n^2-144n+64} \cdot \frac{45n-40}{6d-5n}\) Решение: Знаменатель первой дроби — это полный квадрат \((9n-8)^2\). В числителе второй дроби вынесем 5: \[ \frac{6d-5n}{(9n-8)^2} \cdot \frac{5(9n-8)}{6d-5n} \] Сократим на \((6d-5n)\) и на \((9n-8)\): \[ \frac{5}{9n-8} \] Ответ: \(\frac{5}{9n-8}\)