Решение задачи №2: Определение опорных реакций жесткой рамы

Задача №2. Определение опорных реакций жесткой рамы. Дано: \(M = 50 \, \text{кН} \cdot \text{м}\) \(P = 10 \, \text{кН}\) \(F = 20 \, \text{кН}\) \(q = 4 \, \text{кН/м}\) Решение: 1. Заменим распределенные нагрузки \(q\) их равнодействующими: Для верхнего участка: \(Q_1 = q \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{кН}\). Точка приложения — посередине участка (1.5 м от точки А). Для нижнего участка: \(Q_2 = q \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8 \, \text{кН}\). Точка приложения — посередине участка (1 м от вертикальной стойки). 2. Разложим наклонные силы на составляющие: Для силы \(F\) (угол \(30^\circ\) к горизонту): \(F_x = F \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot 0.866 = 17.32 \, \text{кН}\) (направлена влево) \(F_y = F \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot 0.5 = 10 \, \text{кН}\) (направлена вниз) Для силы \(P\) (угол \(60^\circ\) к горизонту): \(P_x = P \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot 0.5 = 5 \, \text{кН}\) (направлена вправо) \(P_y = P \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot 0.866 = 8.66 \, \text{кН}\) (направлена вниз) 3. Обозначим опорные реакции: В точке А (неподвижный шарнир): \(X_A\) и \(Y_A\). В точке В (подвижный шарнир): \(Y_B\). 4. Составим уравнения равновесия: \(\sum X = 0\): \[X_A - F_x + P_x = 0\] \[X_A = F_x - P_x = 17.32 - 5 = 12.32 \, \text{кН}\] \(\sum M_A = 0\) (сумма моментов относительно точки А): \[-Q_1 \cdot 1.5 - F_y \cdot 3 - F_x \cdot 0 - Q_2 \cdot 2 - P_y \cdot 1 + P_x \cdot 2 - M + Y_B \cdot 3 = 0\] Подставим значения: \[-12 \cdot 1.5 - 10 \cdot 3 - 8 \cdot 2 - 8.66 \cdot 1 + 5 \cdot 2 - 50 + Y_B \cdot 3 = 0\] \[-18 - 30 - 16 - 8.66 + 10 - 50 + 3 \cdot Y_B = 0\] \[-112.66 + 3 \cdot Y_B = 0\] \[Y_B = \frac{112.66}{3} = 37.55 \, \text{кН}\] \(\sum Y = 0\): \[Y_A - Q_1 - F_y - Q_2 - P_y + Y_B = 0\] \[Y_A = Q_1 + F_y + Q_2 + P_y - Y_B\] \[Y_A = 12 + 10 + 8 + 8.66 - 37.55 = 1.11 \, \text{кН}\] 5. Проверка (\(\sum M_B = 0\)): \[Y_A \cdot 3 - Q_1 \cdot 1.5 + F_y \cdot 0 + F_x \cdot 2 + Q_2 \cdot 1 + P_y \cdot 2 + P_x \cdot 0 - M = 0\] \[1.11 \cdot 3 - 12 \cdot 1.5 + 17.32 \cdot 2 + 8 \cdot 1 + 8.66 \cdot 2 - 50 = 0\] \[3.33 - 18 + 34.64 + 8 + 17.32 - 50 = 45.29 - 50 \approx 0\] (Небольшая погрешность вызвана округлением тригонометрических функций). Ответ: \(X_A = 12.32 \, \text{кН}\) \(Y_A = 1.11 \, \text{кН}\) \(Y_B = 37.55 \, \text{кН}\)