Решение задания с матрицами: Вариант 11

Вариант 11 Задание 1. Выполните действия с матрицами: \[ \left( 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \] Решение: 1) Умножим первую матрицу на 2: \[ 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \] 2) Выполним вычитание в скобках: \[ \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - (-2) & 4 - 2 \\ -2 - (-1) & -2 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \] 3) Выполним умножение матриц: \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 & 0 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \\ -1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 & -1 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \] Ответ: \( \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \) Задание 2. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 7x + 5y - 5z = 9 \\ 3x + 4y - 3z = 4 \\ -4x - 3y + 3z = -5 \end{cases} \] Решение: Заметим, что если сложить второе и третье уравнения: \[ (3x - 4x) + (4y - 3y) + (-3z + 3z) = 4 - 5 \] \[ -x + y = -1 \Rightarrow y = x - 1 \] Подставим \( y = x - 1 \) во второе и первое уравнения: 1) \( 3x + 4(x - 1) - 3z = 4 \Rightarrow 3x + 4x - 4 - 3z = 4 \Rightarrow 7x - 3z = 8 \) 2) \( 7x + 5(x - 1) - 5z = 9 \Rightarrow 7x + 5x - 5 - 5z = 9 \Rightarrow 12x - 5z = 14 \) Получили систему: \[ \begin{cases} 7x - 3z = 8 \\ 12x - 5z = 14 \end{cases} \] Умножим первое на 5, второе на 3: \[ \begin{cases} 35x - 15z = 40 \\ 36x - 15z = 42 \end{cases} \] Вычтем из второго первое: \( x = 2 \). Тогда \( y = x - 1 = 2 - 1 = 1 \). Из уравнения \( 7x - 3z = 8 \): \( 7(2) - 3z = 8 \Rightarrow 14 - 3z = 8 \Rightarrow 3z = 6 \Rightarrow z = 2 \). Ответ: \( x = 2, y = 1, z = 2 \). Задание 3. Найти общее и частное решение: \[ \begin{cases} 3x_1 + 3x_2 - 12x_3 = 3 \\ 2x_1 + 2x_2 - 8x_3 = 2 \\ x_1 + 2x_2 - 6x_3 = 1 \end{cases} \] Решение: Разделим первое уравнение на 3, второе на 2: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 - 4x_3 = 1 \\ x_1 + x_2 - 4x_3 = 1 \\ x_1 + 2x_2 - 6x_3 = 1 \end{cases} \] Первые два уравнения идентичны. Система сводится к двум уравнениям: 1) \( x_1 + x_2 - 4x_3 = 1 \) 2) \( x_1 + 2x_2 - 6x_3 = 1 \) Вычтем из второго первое: \( x_2 - 2x_3 = 0 \Rightarrow x_2 = 2x_3 \). Подставим в первое: \( x_1 + 2x_3 - 4x_3 = 1 \Rightarrow x_1 - 2x_3 = 1 \Rightarrow x_1 = 1 + 2x_3 \). Общее решение: \[ \begin{cases} x_1 = 1 + 2c \\ x_2 = 2c \\ x_3 = c \end{cases} \] где \( c \) — любое число. Частное решение (при \( c = 0 \)): \( x_1 = 1, x_2 = 0, x_3 = 0 \). Задание 6 (а). Найдите объем тетраэдра ABCD: \( A(3, -2, -4), B(7, 1, -2), C(4, -1, -3), D(5, -1, -3) \) Решение: Найдем векторы: \[ \vec{AB} = (7-3, 1-(-2), -2-(-4)) = (4, 3, 2) \] \[ \vec{AC} = (4-3, -1-(-2), -3-(-4)) = (1, 1, 1) \] \[ \vec{AD} = (5-3, -1-(-2), -3-(-4)) = (2, 1, 1) \] Объем тетраэдра равен \( V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| \). Вычислим определитель: \[ \Delta = \begin{vmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 4(1-1) - 3(1-2) + 2(1-2) = 0 + 3 - 2 = 1 \] \[ V = \frac{1}{6} \cdot |1| = \frac{1}{6} \] Ответ: \( V = \frac{1}{6} \) куб. ед.