Решение логарифмических уравнений (Вариант II)

Решение логарифмических уравнений (Вариант II) 1) \( \log_{15}(2x - 15) = 1 \) По определению логарифма: \[ 2x - 15 = 15^1 \] \[ 2x - 15 = 15 \] \[ 2x = 15 + 15 \] \[ 2x = 30 \] \[ x = 15 \] Проверка: \( 2 \cdot 15 - 15 = 15 > 0 \). Ответ: \( 15 \). 2) \( \log_{\frac{1}{3}}(-5x - 30) = -2 \) По определению логарифма: \[ -5x - 30 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \] \[ -5x - 30 = 3^2 \] \[ -5x - 30 = 9 \] \[ -5x = 9 + 30 \] \[ -5x = 39 \] \[ x = -\frac{39}{5} \] \[ x = -7,8 \] Проверка: \( -5 \cdot (-7,8) - 30 = 39 - 30 = 9 > 0 \). Ответ: \( -7,8 \). 3) \( \log_6(7 + 5x) = \log_6(15x - 3) \) Так как основания логарифмов равны, приравниваем подлогарифмические выражения: \[ 7 + 5x = 15x - 3 \] \[ 5x - 15x = -3 - 7 \] \[ -10x = -10 \] \[ x = 1 \] Проверка ОДЗ: \( 7 + 5 \cdot 1 = 12 > 0 \) \( 15 \cdot 1 - 3 = 12 > 0 \) Ответ: \( 1 \). 4) \( \log_5(93 - 2x) = \log_5 7 + \log_5 9 \) Используем свойство суммы логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c) \): \[ \log_5(93 - 2x) = \log_5(7 \cdot 9) \) \[ \log_5(93 - 2x) = \log_5 63 \] Приравниваем выражения: \[ 93 - 2x = 63 \] \[ -2x = 63 - 93 \] \[ -2x = -30 \] \[ x = 15 \] Проверка: \( 93 - 2 \cdot 15 = 63 > 0 \). Ответ: \( 15 \).