Решение задач по теореме Пифагора. Вариант 4

Теорема Пифагора. Вариант 4. Задача 1. Дано: прямоугольный треугольник, катеты \( a = 7 \) см, \( b = 24 \) см. Найти: гипотенузу \( c \). Решение: По теореме Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ c^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 \] \[ c = \sqrt{625} = 25 \text{ (см)} \] Ответ: 25 см. Задача 2. Дано: прямоугольный треугольник, катет \( a = 28 \) см. Разность гипотенузы \( c \) и другого катета \( b \) равна 8 см (\( c - b = 8 \)). Найти: \( b \) и \( c \). Решение: Выразим гипотенузу: \( c = b + 8 \). По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 28^2 + b^2 = (b + 8)^2 \] \[ 784 + b^2 = b^2 + 16b + 64 \] \[ 16b = 784 - 64 \] \[ 16b = 720 \] \[ b = 45 \text{ (см)} \] Тогда \( c = 45 + 8 = 53 \text{ (см)} \). Ответ: 45 см и 53 см. Задача 3. Дано: равнобедренная трапеция, основания \( a = 6 \) см, \( b = 12 \) см, боковая сторона \( c = 5 \) см. Найти: площадь \( S \). Решение: 1. Проведем высоты из вершин верхнего основания. Отрезок на нижнем основании будет равен: \[ x = \frac{b - a}{2} = \frac{12 - 6}{2} = 3 \text{ (см)} \] 2. Найдем высоту \( h \) из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: \[ h^2 + x^2 = c^2 \] \[ h^2 + 3^2 = 5^2 \] \[ h^2 = 25 - 9 = 16 \] \[ h = 4 \text{ (см)} \] 3. Площадь трапеции: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{6 + 12}{2} \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36 \text{ (см}^2) \] Ответ: 36 см\(^2\). Задача 4. Дано: равносторонний треугольник, высота \( h = 3 \) см. Найти: сторону \( a \). Решение: В равностороннем треугольнике высота выражается через сторону как: \[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Отсюда сторона: \[ a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ (см)} \] Ответ: \( 2\sqrt{3} \) см. Задача 5. Дано: хорда \( L = 16 \) см, расстояние до центра \( d = 6 \) см. Найти: диаметр \( D \). Решение: 1. Расстояние от центра до хорды — это перпендикуляр, который делит хорду пополам. Получаем прямоугольный треугольник с катетами \( d = 6 \) см и \( \frac{L}{2} = 8 \) см. Гипотенуза этого треугольника — радиус \( R \). 2. По теореме Пифагора: \[ R^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \] \[ R = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)} \] 3. Диаметр: \[ D = 2R = 2 \cdot 10 = 20 \text{ (см)} \] Ответ: 20 см.