Решение задач: трапеция и ее площадь

Ниже представлены решения задач с изображения, оформленные для записи в тетрадь. Задача 9. Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD = 5\), \(BC = 1\), \(S_{ABCD} = 12\). \(MN\) — средняя линия. Найти: \(S_{BCNM}\). Решение: 1. Найдем длину средней линии \(MN\): \[MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3\] 2. Площадь трапеции \(ABCD\) вычисляется по формуле: \[S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = 3h = 12 \Rightarrow h = 4\] где \(h\) — высота всей трапеции. 3. Так как \(MN\) — средняя линия, то высота трапеции \(BCNM\) равна половине высоты всей трапеции: \[h_1 = \frac{h}{2} = \frac{4}{2} = 2\] 4. Найдем площадь \(BCNM\): \[S_{BCNM} = \frac{BC + MN}{2} \cdot h_1 = \frac{1 + 3}{2} \cdot 2 = 4\] Ответ: 4. Задача 10. Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(AC = 8\), \(BD = 14\), \(AB = 5\). Точка \(O\) — точка пересечения диагоналей. Найти: \(DO\). Решение: В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно: \[DO = \frac{BD}{2} = \frac{14}{2} = 7\] Данные о длинах \(AC\) и \(AB\) в этой задаче являются избыточными. Ответ: 7. Задача 11. Дано: Прямоугольный треугольник, \(S = 288\sqrt{3}\), один из острых углов равен \(60^\circ\). Найти: Катет, прилежащий к углу \(60^\circ\). Решение: 1. Пусть прилежащий катет равен \(a\). Тогда противолежащий катет \(b\) выражается через тангенс угла: \[b = a \cdot \tan(60^\circ) = a\sqrt{3}\] 2. Площадь прямоугольного треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\] 3. Подставим значение площади: \[\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 288\sqrt{3}\] \[a^2 = 288 \cdot 2 = 576\] \[a = \sqrt{576} = 24\] Ответ: 24. Задача 12. Дано: Равносторонний треугольник, высота \(h = 10\). Найти: \(S / \frac{\sqrt{3}}{3}\). Решение: 1. В равностороннем треугольнике высота \(h\) связана со стороной \(a\) формулой: \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 10 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{20}{\sqrt{3}}\] 2. Площадь равностороннего треугольника: \[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\frac{20}{\sqrt{3}})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{400}{3} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{3}\] 3. Найдем искомое значение: \[\frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{100\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 100\] Ответ: 100.