Решение контрольной работы: Системы уравнений, Вариант 1

Контрольная работа по теме «Системы уравнений» Вариант 1 № 1. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ xy + y = 12 \end{cases} \] Решение: 1) Из первого уравнения выразим \(x\): \[ x = 1 + 2y \] 2) Подставим полученное выражение во второе уравнение: \[ (1 + 2y)y + y = 12 \] \[ y + 2y^2 + y = 12 \] \[ 2y^2 + 2y - 12 = 0 \] Разделим всё уравнение на 2: \[ y^2 + y - 6 = 0 \] По теореме Виета: \[ y_1 = -3, \quad y_2 = 2 \] 3) Найдем соответствующие значения \(x\): Если \(y_1 = -3\), то \(x_1 = 1 + 2 \cdot (-3) = 1 - 6 = -5\). Если \(y_2 = 2\), то \(x_2 = 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5\). Ответ: \((-5; -3), (5; 2)\). № 2. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника. Решение: Пусть \(x\) см — одна сторона, тогда \((x + 7)\) см — другая сторона. По теореме Пифагора: \[ x^2 + (x + 7)^2 = 13^2 \] \[ x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 \] \[ 2x^2 + 14x - 120 = 0 \] Разделим на 2: \[ x^2 + 7x - 60 = 0 \] \[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 = 17^2 \] \[ x_1 = \frac{-7 + 17}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{-7 - 17}{2} = -12 \text{ (не подходит, так как сторона > 0)} \] Первая сторона равна 5 см, тогда вторая: \(5 + 7 = 12\) см. Ответ: 5 см, 12 см. № 3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности \(x^2 + y^2 = 5\) и прямой \(x + 3y = 7\). Решение: Составим систему: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x + 3y = 7 \end{cases} \] Выразим \(x\) из второго уравнения: \(x = 7 - 3y\). Подставим в первое: \[ (7 - 3y)^2 + y^2 = 5 \] \[ 49 - 42y + 9y^2 + y^2 = 5 \] \[ 10y^2 - 42y + 44 = 0 \] Разделим на 2: \[ 5y^2 - 21y + 22 = 0 \] \[ D = (-21)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 22 = 441 - 440 = 1 \] \[ y_1 = \frac{21 + 1}{10} = 2.2; \quad y_2 = \frac{21 - 1}{10} = 2 \] Найдем \(x\): Если \(y_1 = 2.2\), то \(x_1 = 7 - 3 \cdot 2.2 = 7 - 6.6 = 0.4\). Если \(y_2 = 2\), то \(x_2 = 7 - 3 \cdot 2 = 1\). Ответ: \((0.4; 2.2), (1; 2)\). № 4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 4x^2 + y = 9 \\ 8x^2 - y = 3 \end{cases} \] Решение: Сложим уравнения системы: \[ (4x^2 + y) + (8x^2 - y) = 9 + 3 \] \[ 12x^2 = 12 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -1 \] Найдем \(y\) из первого уравнения: \(y = 9 - 4x^2\). Так как в обоих случаях \(x^2 = 1\), то: \[ y = 9 - 4 \cdot 1 = 5 \] Ответ: \((1; 5), (-1; 5)\). № 5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ 5x - y = 9 \end{cases} \] Решение: Из второго уравнения: \(y = 5x - 9\). Подставим в первое: \[ \frac{1}{x} - \frac{1}{5x - 9} = \frac{1}{6} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{5x - 9 - x}{x(5x - 9)} = \frac{1}{6} \] \[ \frac{4x - 9}{5x^2 - 9x} = \frac{1}{6} \] \[ 6(4x - 9) = 5x^2 - 9x \] \[ 24x - 54 = 5x^2 - 9x \] \[ 5x^2 - 33x + 54 = 0 \] \[ D = (-33)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 54 = 1089 - 1080 = 9 = 3^2 \] \[ x_1 = \frac{33 + 3}{10} = 3.6; \quad x_2 = \frac{33 - 3}{10} = 3 \] Найдем \(y\): Если \(x_1 = 3.6\), то \(y_1 = 5 \cdot 3.6 - 9 = 18 - 9 = 9\). Если \(x_2 = 3\), то \(y_2 = 5 \cdot 3 - 9 = 15 - 9 = 6\). Проверка условий \(x \neq 0, y \neq 0\) пройдена. Ответ: \((3.6; 9), (3; 6)\).