Решение задачи на подобие треугольников

1 ВАРИАНТ Задача 1. Дано: \(KE \cap MN = O\) \(KM \parallel NE\) \(ON = 8\) см, \(MO = 14\) см, \(NE = 20\) см. Доказать: \(\triangle KMO \sim \triangle NEO\). Найти: \(KM\). Решение: 1) Рассмотрим \(\triangle KMO\) и \(\triangle NEO\). Угол \(\angle KOM = \angle NOE\) как вертикальные. Угол \(\angle MKO = \angle NEO\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(KM\) и \(NE\) и секущей \(KE\). Следовательно, \(\triangle KMO \sim \triangle NEO\) по двум углам (I признак подобия). 2) Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон: \[ \frac{KM}{NE} = \frac{MO}{ON} \] Подставим известные значения: \[ \frac{KM}{20} = \frac{14}{8} \] \[ KM = \frac{20 \cdot 14}{8} = \frac{280}{8} = 35 \text{ (см)} \] Ответ: \(KM = 35\) см. Задача 2. Дано: \(\triangle MNO \sim \triangle PKT\) \(MN = 3\) см, \(NO = 4\) см, \(OM = 5\) см. \(k = \frac{PK}{MN} = 1,8\) Найти: стороны \(\triangle PKT\), \(\frac{S_{PKT}}{S_{MNO}}\). Решение: 1) Так как треугольники подобны с коэффициентом \(k = 1,8\), то: \(PK = MN \cdot k = 3 \cdot 1,8 = 5,4\) (см) \(KT = NO \cdot k = 4 \cdot 1,8 = 7,2\) (см) \(PT = OM \cdot k = 5 \cdot 1,8 = 9\) (см) 2) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{PKT}}{S_{MNO}} = k^2 = 1,8^2 = 3,24 \] Ответ: \(PK = 5,4\) см, \(KT = 7,2\) см, \(PT = 9\) см; отношение площадей равно \(3,24\). Задача 3. Дано: \(\triangle ABC\) \(AK = KB\), \(BE = CE\) \(KE = 6\) см. Найти: \(AC\). Решение: Так как \(K\) — середина \(AB\), а \(E\) — середина \(BC\), то отрезок \(KE\) является средней линией треугольника \(ABC\). По свойству средней линии треугольника: \[ KE = \frac{1}{2} AC \] Отсюда: \[ AC = 2 \cdot KE = 2 \cdot 6 = 12 \text{ (см)} \] Ответ: \(AC = 12\) см. Задача 4. Дано: Рост человека \(h = 1,7\) м. Тень человека \(l = 4\) шага. Расстояние от столба до человека \(d = 8\) шагов. Найти: высоту столба \(H\). Решение: Человек и столб образуют два подобных прямоугольных треугольника (так как лучи света параллельны, а объекты перпендикулярны земле). Общее расстояние от столба до конца тени составляет \(d + l = 8 + 4 = 12\) шагов. Из подобия треугольников: \[ \frac{H}{h} = \frac{d + l}{l} \] \[ \frac{H}{1,7} = \frac{12}{4} \] \[ \frac{H}{1,7} = 3 \] \[ H = 1,7 \cdot 3 = 5,1 \text{ (м)} \] Ответ: высота столба 5,1 м. Задача 5. Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle MNK\) \(S_{ABC} = 25\), \(S_{MNK} = 16\) \(MK = 2\) (сходственная стороне \(AC\)). Найти: \(AC\). Решение: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{MNK}} = k^2 \] \[ \frac{25}{16} = k^2 \Rightarrow k = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} = 1,25 \] Так как \(AC\) и \(MK\) — сходственные стороны: \[ \frac{AC}{MK} = k \] \[ \frac{AC}{2} = 1,25 \] \[ AC = 2 \cdot 1,25 = 2,5 \] Ответ: \(AC = 2,5\).