Задача 1.
Двое часов начали бить одновременно, и когда они снова пробили совместно с ними начали бить третьи часы. Первые часы бьют каждые 2 секунды, вторые бьют каждые 3 секунды, третьи - каждые 5 секунд. Сколько всего ударов пробили часы от общего начала боя двух часов до последнего общего удара 3-х часов, если совместные удары слышатся как один?
Решение:
1. Найдем, через сколько секунд первые два часа бьют одновременно. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2 и 3.
НОК(2, 3) = 6 секунд.
Это означает, что первые два часа бьют одновременно каждые 6 секунд. В этот момент начинают бить третьи часы.
2. Теперь у нас есть три часа, которые бьют с интервалами 2, 3 и 5 секунд. Нам нужно найти, когда все три часа пробьют одновременно. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2, 3 и 5.
НОК(2, 3, 5) = 30 секунд.
Это означает, что все три часа пробьют одновременно через 30 секунд после того, как начали бить третьи часы.
3. Общее время, прошедшее от начала боя двух часов до последнего общего удара трех часов, равно 30 секундам (так как третьи часы начали бить в момент первого совместного удара первых двух часов, который произошел через 6 секунд от начала, но отсчет для всех трех часов начинается с момента, когда они все вместе начали бить, то есть с 6-й секунды от общего начала боя двух часов, и до 30-й секунды от этого момента).
Однако, в условии сказано "от общего начала боя двух часов до последнего общего удара 3-х часов". Это означает, что мы считаем время от 0 секунд. Третьи часы начали бить на 6-й секунде. Первый совместный удар всех трех часов произойдет на 30-й секунде после того, как они начали бить, то есть на 30-й секунде от момента, когда третьи часы начали бить. Но если считать от общего начала боя двух часов, то это будет 6 + 30 = 36 секунд.
Давайте уточним: "когда они снова пробили совместно с ними начали бить третьи часы". Это означает, что на 6-й секунде (первый совместный удар первых двух часов) начинают бить третьи часы. И мы ищем последний общий удар всех трех часов. Это будет НОК(2, 3, 5) = 30 секунд после того, как начали бить третьи часы. То есть, если третьи часы начали бить на 6-й секунде, то следующий общий удар всех трех часов будет на 6 + 30 = 36-й секунде.
Итак, общее время, которое нас интересует, это 36 секунд.
4. Теперь посчитаем количество ударов для каждого часа за 36 секунд, учитывая, что совместные удары слышатся как один.
Количество ударов первых часов (каждые 2 секунды):
Удары происходят в моменты: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36.
Всего: \( \frac{36}{2} + 1 = 18 + 1 = 19 \) ударов.
Количество ударов вторых часов (каждые 3 секунды):
Удары происходят в моменты: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36.
Всего: \( \frac{36}{3} + 1 = 12 + 1 = 13 \) ударов.
Количество ударов третьих часов (каждые 5 секунд):
Третьи часы начинают бить с 6-й секунды. Их удары происходят в моменты: 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36.
Всего: \( \frac{36 - 6}{5} + 1 = \frac{30}{5} + 1 = 6 + 1 = 7 \) ударов.
5. Теперь найдем количество совместных ударов, чтобы вычесть их из общей суммы.
Совместные удары первых и вторых часов (каждые 6 секунд):
Моменты: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36.
Всего: \( \frac{36}{6} + 1 = 6 + 1 = 7 \) совместных ударов.
Совместные удары первых и третьих часов:
Первые часы бьют на 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36.
Третьи часы бьют на 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36.
Совместные моменты: 6, 16, 26, 36.
Всего: 4 совместных удара.
Совместные удары вторых и третьих часов:
Вторые часы бьют на 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36.
Третьи часы бьют на 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36.
Совместные моменты: 6, 21, 36.
Всего: 3 совместных удара.
Совместные удары всех трех часов (каждые 30 секунд, начиная с 6-й секунды):
Моменты: 6, 36.
Всего: 2 совместных удара.
6. Используем формулу включений-исключений для подсчета общего количества уникальных ударов:
Общее количество ударов = (Удары 1) + (Удары 2) + (Удары 3) - (Удары 1 и 2) - (Удары 1 и 3) - (Удары 2 и 3) + (Удары 1, 2 и 3)
Общее количество ударов = 19 + 13 + 7 - 7 - 4 - 3 + 2
Общее количество ударов = 39 - 14 + 2
Общее количество ударов = 25 + 2
Общее количество ударов = 27.
Ответ: 27.