Решение задачи 12: Вычисление произведения смешанных дробей

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь.
12. Вычислите: \(1 \frac{1}{4} \cdot 1 \frac{1}{5} \cdot \ldots \cdot 1 \frac{1}{20}\) Решение: Переведем смешанные дроби в неправильные: \(1 \frac{1}{4} = \frac{4 \cdot 1 + 1}{4} = \frac{5}{4}\) \(1 \frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 1 + 1}{5} = \frac{6}{5}\) \(1 \frac{1}{6} = \frac{6 \cdot 1 + 1}{6} = \frac{7}{6}\) ... \(1 \frac{1}{20} = \frac{20 \cdot 1 + 1}{20} = \frac{21}{20}\) Теперь запишем произведение: \[\frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{21}{20}\] Заметим, что числитель каждой дроби, начиная со второй, равен знаменателю предыдущей дроби. Это позволяет сократить дроби: \[\frac{\cancel{5}}{4} \cdot \frac{\cancel{6}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{6}} \cdot \ldots \cdot \frac{21}{\cancel{20}}\] В результате сокращения останется только знаменатель первой дроби и числитель последней дроби: \[\frac{21}{4}\] Переведем неправильную дробь в смешанную: \[\frac{21}{4} = 5 \frac{1}{4}\] Ответ: \(5 \frac{1}{4}\)
13. Веревку длиной 15 м надо разрезать на два куска так, чтобы один из них оказался в 3 раза больше другого. Сколько метров веревки в большем куске? Решение: Пусть длина меньшего куска веревки будет \(x\) метров. Тогда длина большего куска веревки будет \(3x\) метров, так как он в 3 раза больше. Общая длина веревки составляет 15 метров. Составим уравнение: \[x + 3x = 15\] Сложим \(x\) и \(3x\): \[4x = 15\] Чтобы найти \(x\), разделим 15 на 4: \[x = \frac{15}{4}\] Это длина меньшего куска. Чтобы найти длину большего куска, умножим \(x\) на 3: \[3x = 3 \cdot \frac{15}{4} = \frac{45}{4}\] Переведем неправильную дробь в смешанную или десятичную, если это удобно. \[\frac{45}{4} = 11 \frac{1}{4} \text{ м}\] Или в десятичной дроби: \[\frac{45}{4} = 11.25 \text{ м}\] Ответ: \(11.25\) метров.
14. Расположите в порядке возрастания степени: \(a = \left(\frac{4}{3}\right)^2\), \(b = 1^3\), \(c = \left(\frac{7}{3}\right)^2\), \(d = \left(\frac{3}{4}\right)^2\) Решение: Вычислим значения каждой степени: \[a = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}\] \[b = 1^3 = 1\] \[c = \left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{7^2}{3^2} = \frac{49}{9}\] \[d = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}\] Теперь переведем все значения в десятичные дроби или сравним их, приведя к общему знаменателю, если это возможно. \[a = \frac{16}{9} \approx 1.777...\] \[b = 1\] \[c = \frac{49}{9} \approx 5.444...\] \[d = \frac{9}{16} = 0.5625\] Теперь расположим эти значения в порядке возрастания: \(0.5625 < 1 < 1.777... < 5.444...\) Соответственно: \(d < b < a < c\) Ответ: \(d, b, a, c\)