Задача 10. В одном пакете \(\frac{7}{10}\) кг орехов. В другом пакете орехов в полтора раза больше. Сколько орехов во втором пакете?
Решение:
1. Сначала переведем "полтора раза" в десятичную дробь или обыкновенную дробь. Полтора раза — это 1,5 или \(\frac{3}{2}\).
2. Чтобы найти, сколько орехов во втором пакете, нужно количество орехов в первом пакете умножить на 1,5 (или на \(\frac{3}{2}\)).
\(\frac{7}{10} \cdot 1,5 = \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{2}\)
3. Выполним умножение дробей:
\(\frac{7}{10} \cdot \frac{3}{2} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 2} = \frac{21}{20}\)
4. Получили \(\frac{21}{20}\) кг. Это можно записать как смешанную дробь: \(1\frac{1}{20}\) кг.
Ответ: \(\frac{21}{20}\) кг или \(1\frac{1}{20}\) кг. Среди предложенных вариантов есть вариант А: \(1\frac{1}{20}\) кг.
Задача 11. От куска ткани отрезали ее часть. Какой из данных отрезков ткани длиннее других:
А. \(\frac{2}{3}\) от 15 м
Б. \(\frac{3}{4}\) от 12 м
В. \(\frac{1}{2}\) от 21 м
Г. \(\frac{2}{5}\) от 15 м
Решение:
Чтобы сравнить длины отрезков, нужно вычислить каждую из них.
1. Вычислим длину отрезка А:
\(\frac{2}{3} \cdot 15 = \frac{2 \cdot 15}{3} = \frac{30}{3} = 10\) м
2. Вычислим длину отрезка Б:
\(\frac{3}{4} \cdot 12 = \frac{3 \cdot 12}{4} = \frac{36}{4} = 9\) м
3. Вычислим длину отрезка В:
\(\frac{1}{2} \cdot 21 = \frac{21}{2} = 10,5\) м
4. Вычислим длину отрезка Г:
\(\frac{2}{5} \cdot 15 = \frac{2 \cdot 15}{5} = \frac{30}{5} = 6\) м
Теперь сравним полученные длины: 10 м, 9 м, 10,5 м, 6 м.
Самый длинный отрезок — 10,5 м.
Ответ: Самый длинный отрезок — В. Третий.
Задача 12. Вычислите: \(1 - \frac{1}{14} - \frac{1}{15} - \dots - \frac{1}{20}\)
Решение:
В задании, скорее всего, опечатка, и имелось в виду произведение, а не вычитание. Если это вычитание, то результат будет отрицательным и не соответствует предложенным вариантам. Давайте предположим, что это произведение: \(\left(1 - \frac{1}{14}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{15}\right) \cdot \dots \cdot \left(1 - \frac{1}{20}\right)\).
1. Преобразуем каждую скобку:
\(1 - \frac{1}{14} = \frac{14}{14} - \frac{1}{14} = \frac{13}{14}\)
\(1 - \frac{1}{15} = \frac{15}{15} - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}\)
\(1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}\)
...
\(1 - \frac{1}{20} = \frac{20}{20} - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}\)
2. Теперь запишем произведение:
\(\frac{13}{14} \cdot \frac{14}{15} \cdot \frac{15}{16} \cdot \dots \cdot \frac{19}{20}\)
3. Заметим, что в этом произведении многие числители и знаменатели сокращаются (телескопическое произведение):
\(\frac{13}{\cancel{14}} \cdot \frac{\cancel{14}}{\cancel{15}} \cdot \frac{\cancel{15}}{\cancel{16}} \cdot \dots \cdot \frac{\cancel{19}}{20}\)
4. После сокращения останутся только первый числитель и последний знаменатель:
\(\frac{13}{20}\)
Среди предложенных вариантов нет \(\frac{13}{20}\). Возможно, в задании имелось в виду другое. Давайте перепроверим варианты. Варианты: А. \(1\frac{1}{2}\), Б. \(\frac{2}{3}\), В. \(\frac{6}{5}\), Г. \(\frac{5}{6}\). Ни один из них не равен \(\frac{13}{20}\). Если бы это было \(1 - \left(\frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \dots + \frac{1}{20}\right)\), то это было бы очень сложно для школьника и не дало бы простых ответов. Давайте еще раз посмотрим на запись. Возможно, это \(1 \div 14 \div 15 \div \dots \div 20\), но это тоже маловероятно. Если это \(1 \cdot \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{15} \cdot \dots \cdot \frac{1}{20}\), то это будет очень маленькое число. Предположим, что это произведение, но с другим началом или концом. Если это \(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \dots\), то это не подходит. Давайте внимательно посмотрим на изображение. Там написано: "Вычислите: \(1 \frac{1}{14} \cdot 1 \frac{1}{15} \cdot \dots \cdot 1 \frac{1}{20}\)". Это произведение смешанных чисел!
Решение (исправленное):
1. Преобразуем каждое смешанное число в неправильную дробь:
\(1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14}\)
\(1\frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{16}{15}\)
\(1\frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{17}{16}\)
...
\(1\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 20 + 1}{20} = \frac{21}{20}\)
2. Теперь запишем произведение:
\(\frac{15}{14} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{17}{16} \cdot \dots \cdot \frac{21}{20}\)
3. Заметим, что в этом произведении многие числители и знаменатели сокращаются (телескопическое произведение):
\(\frac{\cancel{15}}{14} \cdot \frac{\cancel{16}}{\cancel{15}} \cdot \frac{\cancel{17}}{\cancel{16}} \cdot \dots \cdot \frac{21}{\cancel{20}}\)
4. После сокращения останутся только первый знаменатель и последний числитель:
\(\frac{21}{14}\)
5. Сократим полученную дробь:
\(\frac{21}{14} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{3}{2}\)
6. Преобразуем в смешанное число или десятичную дробь, если нужно:
\(\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}\)
Ответ: \(1\frac{1}{2}\). Среди предложенных вариантов есть вариант А: \(1\frac{1}{2}\).
Задача 13. Веревку длиной 15 м надо разрезать на два куска так, чтобы один из них оказался в 3 раза больше другого. Сколько метров веревки в большем куске?
Решение:
1. Пусть длина меньшего куска веревки будет \(x\) метров.
2. Тогда длина большего куска веревки будет \(3x\) метров (так как он в 3 раза больше).
3. Общая длина веревки составляет 15 метров. Значит, сумма длин двух кусков равна 15:
\(x + 3x = 15\)
4. Решим уравнение:
\(4x = 15\)
\(x = \frac{15}{4}\)
\(x = 3,75\) метра (это длина меньшего куска)
5. Нам нужно найти длину большего куска, которая равна \(3x\):
\(3x = 3 \cdot 3,75 = 11,25\) метра
Ответ: В большем куске 11,25 метров веревки.
Задача 14. Расположите в порядке возрастания степени:
\(a = \left(\frac{3}{4}\right)^2\), \(b = 1^3\), \(c = \left(\frac{3}{7}\right)^2\), \(d = \left(\frac{4}{3}\right)^1\)
Решение:
1. Вычислим значение каждого выражения:
\(a = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}\)
Чтобы было удобнее сравнивать, переведем в десятичную дробь: \(\frac{9}{16} = 0,5625\)
\(b = 1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\)
\(c = \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{3^2}{7^2} = \frac{9}{49}\)
Чтобы было удобнее сравнивать, переведем в десятичную дробь: \(\frac{9}{49} \approx 0,1836\)
\(d = \left(\frac{4}{3}\right)^1 = \frac{4}{3}\)
Чтобы было удобнее сравнивать, переведем в десятичную дробь: \(\frac{4}{3} \approx 1,333...\)
2. Теперь у нас есть значения:
\(a = 0,5625\)
\(b = 1\)
\(c \approx 0,1836\)
\(d \approx 1,333\)
3. Расположим их в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):
\(0,1836 < 0,5625 < 1 < 1,333\)
Это соответствует: \(c < a < b < d\)
Ответ: c, a, b, d. Среди предложенных вариантов есть вариант Г: c, a, b, d.