Задача 5. Мотоцикл проезжает верхнюю точку выпуклого моста, радиус кривизны которого равен 80 м, двигаясь с постоянной скоростью 72 км/ч. Общая масса мотоцикла и мотоциклиста составляет 500 кг. Из приведённого ниже списка выберите все верные утверждения, характеризующие движение мотоцикла.
Дано:
- Радиус кривизны моста \(R = 80\) м
- Скорость мотоцикла \(v = 72\) км/ч
- Масса мотоцикла и мотоциклиста \(m = 500\) кг
- Ускорение свободного падения \(g \approx 10\) м/с2 (примем стандартное значение для школьных задач)
Найти: Все верные утверждения.
Решение:
Прежде чем анализировать утверждения, переведём скорость в систему СИ:
\[v = 72 \text{ км/ч} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 72 \cdot \frac{1}{3.6} \text{ м/с} = 20 \text{ м/с}\]Теперь рассмотрим каждое утверждение по порядку.
1) Сила тяжести, действующая на мотоцикл с мотоциклистом, равна 50 кН.
Сила тяжести \(F_т\) определяется по формуле:
\[F_т = m \cdot g\]Подставим значения:
\[F_т = 500 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 5000 \text{ Н}\]Переведём в килоньютоны:
\[F_т = 5000 \text{ Н} = 5 \text{ кН}\]Утверждение гласит, что сила тяжести равна 50 кН, что неверно. Она равна 5 кН.
Вывод: Утверждение 1 неверно.
2) Сумма сил, действующих на мотоцикл, направлена вертикально вниз и перпендикулярна скорости мотоцикла.
Мотоцикл движется по окружности (в верхней точке моста). При движении по окружности всегда присутствует центростремительное ускорение, направленное к центру окружности. В данном случае, в верхней точке выпуклого моста, центр окружности находится под мостом, то есть центростремительное ускорение направлено вертикально вниз.
Согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил (равнодействующая сила) направлена так же, как и ускорение. Следовательно, равнодействующая сила направлена вертикально вниз.
Скорость мотоцикла в верхней точке моста направлена горизонтально (по касательной к траектории). Вертикальное направление перпендикулярно горизонтальному.
Вывод: Утверждение 2 верно.
3) Центростремительное ускорение мотоцикла равно 2,5 м/с2.
Центростремительное ускорение \(a_ц\) определяется по формуле:
\[a_ц = \frac{v^2}{R}\]Подставим значения:
\[a_ц = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{80 \text{ м}} = \frac{400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{80 \text{ м}} = 5 \text{ м/с}^2\]Утверждение гласит, что центростремительное ускорение равно 2,5 м/с2, что неверно. Оно равно 5 м/с2.
Вывод: Утверждение 3 неверно.
4) Сила, с которой мост действует на мотоцикл, равна 2500 Н и направлена вертикально вверх.
В верхней точке моста на мотоцикл действуют две силы:
- Сила тяжести \(F_т = m \cdot g\), направленная вертикально вниз.
- Сила нормальной реакции опоры \(N\), с которой мост действует на мотоцикл, направленная вертикально вверх.
Равнодействующая этих сил равна \(F_{равн}\) и направлена вертикально вниз (как мы выяснили в пункте 2). По второму закону Ньютона:
\[F_{равн} = m \cdot a_ц\]Так как \(F_т\) направлена вниз, а \(N\) вверх, и равнодействующая направлена вниз, то:
\[F_т - N = m \cdot a_ц\]Выразим силу нормальной реакции опоры \(N\):
\[N = F_т - m \cdot a_ц\]Мы уже рассчитали \(F_т = 5000\) Н и \(a_ц = 5\) м/с2.
\[N = 5000 \text{ Н} - 500 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с}^2\] \[N = 5000 \text{ Н} - 2500 \text{ Н}\] \[N = 2500 \text{ Н}\]Сила нормальной реакции опоры \(N\) всегда направлена перпендикулярно поверхности опоры, то есть в данном случае вертикально вверх.
Вывод: Утверждение 4 верно.
5) Сила, с которой мотоцикл действует на мост, направлена вертикально вниз и больше 5000 Н.
Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой мотоцикл действует на мост (обозначим её \(F_{давл}\)), равна по модулю силе, с которой мост действует на мотоцикл (\(N\)), и направлена в противоположную сторону.
Мы нашли, что \(N = 2500\) Н и направлена вертикально вверх. Значит, сила, с которой мотоцикл действует на мост, равна 2500 Н и направлена вертикально вниз.
Утверждение гласит, что эта сила больше 5000 Н, что неверно. Она равна 2500 Н.
Вывод: Утверждение 5 неверно.
Окончательный ответ: Верными являются утверждения 2 и 4.