Решение квадратичной функции g(x) = 4x^2 - 8x - 1

На фотографии изображена квадратичная функция:
\[ g(x) = 4x^2 - 8x - 1 \]
Выполним исследование функции для построения графика или анализа её свойств.

1. Направление ветвей:
Коэффициент \( a = 4 \). Так как \( 4 > 0 \), ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы \( (x_0; y_0) \):
Вычислим абсциссу вершины: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 \] Вычислим ординату вершины, подставив \( x = 1 \) в уравнение: \[ y_0 = g(1) = 4 \cdot (1)^2 - 8 \cdot 1 - 1 = 4 - 8 - 1 = -5 \] Вершина параболы находится в точке \( (1; -5) \).

3. Точка пересечения с осью \( Oy \) (при \( x = 0 \)):
\[ g(0) = 4 \cdot 0^2 - 8 \cdot 0 - 1 = -1 \] Точка пересечения: \( (0; -1) \).

4. Точки пересечения с осью \( Ox \) (нули функции):
Решим уравнение \( 4x^2 - 8x - 1 = 0 \): \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 64 + 16 = 80 \] Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm 4\sqrt{5}}{8} = 1 \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \] Приблизительные значения: \( x_1 \approx 2,12 \), \( x_2 \approx -0,12 \).

5. Дополнительная точка для точности (симметричная точке пересечения с \( Oy \)):
Так как ось симметрии \( x = 1 \), то при \( x = 2 \): \[ g(2) = 4 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 - 1 = 16 - 16 - 1 = -1 \] Точка: \( (2; -1) \).

Ответ: Вершина параболы — \( (1; -5) \), ветви направлены вверх, пересечение с осью \( Oy \) в точке \( (0; -1) \).