Решение Варианта 2: Неравенства

Решение заданий Варианта 2. Задание 1. \[ -2x^2 + 8x \geq 0 \] Разделим обе части на -2, при этом знак неравенства перевернется: \[ x^2 - 4x \leq 0 \] Разложим на множители: \[ x(x - 4) \leq 0 \] Корни уравнения \( x(x - 4) = 0 \): \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 4 \] Методом интервалов определяем знаки. Нам нужен промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Ответ: \( x \in [0; 4] \) Задание 2. \[ 4x^2 - 100 \leq 0 \] Разделим на 4: \[ x^2 - 25 \leq 0 \] Разложим по формуле разности квадратов: \[ (x - 5)(x + 5) \leq 0 \] Корни: \( x_1 = -5, \quad x_2 = 5 \) Парабола ветвями вверх, значения меньше нуля находятся между корнями. Ответ: \( x \in [-5; 5] \) Задание 3. \[ 7x^2 + 11 > 0 \] Так как \( x^2 \geq 0 \) для любого \( x \), то \( 7x^2 \geq 0 \). Следовательно, \( 7x^2 + 11 \) всегда больше или равно 11, что всегда больше 0. Неравенство верно при любом значении переменной. Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \) Задание 4. \[ 2x^2 - 5x + 4 < 0 \] Найдем дискриминант квадратного трехчлена: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 - 32 = -7 \] Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( 2 > 0 \)), парабола целиком лежит выше оси Ox. Значит, выражение \( 2x^2 - 5x + 4 \) всегда положительно и никогда не может быть меньше нуля. Ответ: решений нет. Задание 5. \[ 3x^2 - 5x + 2 > 0 \] Найдем корни уравнения \( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \): \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \] \[ x_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Парабола ветвями вверх. Значения больше нуля находятся за пределами корней. Ответ: \( x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (1; +\infty) \)