Решение задачи: Площадь многогранника (Вариант 2. Задача 1)

Вариант 2. Задача 1. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Решение: Для нахождения площади поверхности такого многогранника удобно рассмотреть его как прямоугольный параллелепипед, из которого вырезали часть, и учесть, что площади некоторых граней при «вырезании» просто сместились. 1. Рассмотрим первый (верхний) рисунок. Размеры исходного параллелепипеда: длина \( a = 5 \), ширина \( b = 3 \), высота \( c = 3 \). Площадь поверхности полного параллелепипеда вычисляется по формуле: \[ S_{full} = 2 \cdot (ab + bc + ac) \] \[ S_{full} = 2 \cdot (5 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3) = 2 \cdot (15 + 9 + 15) = 2 \cdot 39 = 78 \] Заметим, что при вырезе угла площадь поверхности не меняется, так как внутренние грани выреза компенсируют недостающие части внешних граней. Однако в данной фигуре вырез идет вдоль всей длины. Посмотрим на торцевую грань (переднюю и заднюю). Площадь передней грани (L-образная фигура): \[ S_{front} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 9 - 1 = 8 \] Таких граней две (передняя и задняя): \( 8 \cdot 2 = 16 \). Теперь посчитаем площади боковых и горизонтальных поверхностей. Если спроецировать их на плоскости, мы увидим, что сумма площадей горизонтальных участков равна площади основания \( 5 \cdot 3 = 15 \), а сумма вертикальных боковых — площади боковой стороны \( 5 \cdot 3 = 15 \). Верх и низ: \( 15 + 15 = 30 \). Лево и право: \( 15 + 15 = 30 \). Итоговая площадь: \[ S = 16 + 30 + 30 = 76 \] 2. Рассмотрим второй (нижний) рисунок. Размеры параллелепипеда: длина \( 5 \), ширина \( 4 \), высота \( 3 \). Здесь вырезана часть сверху. Площадь поверхности будет равна площади целого параллелепипеда плюс площади двух дополнительных боковых стенок выреза (которые «смотрят» друг на друга внутри выреза). Площадь целого параллелепипеда: \[ S_{full} = 2 \cdot (5 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 3) = 2 \cdot (20 + 12 + 15) = 2 \cdot 47 = 94 \] При таком вырезе горизонтальная площадь дна выреза равна площади «крышки», которую убрали. Передняя и задняя стенки выреза компенсируют части передней и задней граней. Добавляются только две боковые внутренние грани выреза. Размеры этих граней: высота \( 1 \), глубина \( 2 \). Площадь одной такой грани: \( 1 \cdot 2 = 2 \). Их две, значит добавляем: \( 2 \cdot 2 = 4 \). Итоговая площадь: \[ S = 94 + 4 = 98 \] Ответ: 76 (для первой фигуры), 98 (для второй фигуры).