Решение системы уравнений: x² + y² = 9 и x² + y = 12

Решение систем уравнений для тетради: 7) Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ x - y = 3 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим \(x\): \[ x = 3 + y \] Подставим полученное выражение в первое уравнение: \[ (3 + y)^2 + y^2 = 9 \] \[ 9 + 6y + y^2 + y^2 = 9 \] \[ 2y^2 + 6y = 0 \] \[ 2y(y + 3) = 0 \] Получаем два корня для \(y\): 1) \( 2y = 0 \Rightarrow y_1 = 0 \) 2) \( y + 3 = 0 \Rightarrow y_2 = -3 \) Теперь найдем соответствующие значения \(x\): Если \( y_1 = 0 \), то \( x_1 = 3 + 0 = 3 \). Если \( y_2 = -3 \), то \( x_2 = 3 + (-3) = 0 \). Ответ: \( (3; 0), (0; -3) \). 8) Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y = 12 \\ xy = -6 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим \(y\): \[ y = -\frac{6}{x} \] (при \( x \neq 0 \)) Подставим в первое уравнение: \[ x^2 - \frac{6}{x} = 12 \] Умножим всё уравнение на \(x\): \[ x^3 - 6 = 12x \] \[ x^3 - 12x - 6 = 0 \] Заметим, что при подборе целых корней среди делителей числа 6 (\( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \)) точных целых решений нет. Однако, если в условии задачи была опечатка и первое уравнение выглядело как \( x + y = ... \) или \( x^2 + y^2 = ... \), решение было бы проще. Если решать данное уравнение \( x^3 - 12x - 6 = 0 \) графически или методом подбора, можно найти приближенные значения, но обычно в школьных задачах такого типа подразумеваются целые ответы. Проверим вариант, если во втором уравнении \( y = 12 - x^2 \). Подставим в \( xy = -6 \): \[ x(12 - x^2) = -6 \] \[ 12x - x^3 = -6 \] \[ x^3 - 12x - 6 = 0 \] Уравнение остается тем же. Вероятно, в условии на доске могла быть неточность в цифрах. Если же решать строго по записи: При \( x \approx -3.12 \), \( y \approx 1.92 \) При \( x \approx -0.51 \), \( y \approx 11.74 \) При \( x \approx 3.63 \), \( y \approx -1.65 \) Обычно в таких системах подбираются числа так, чтобы дискриминант был квадратом. Если допустить, что в первом уравнении вместо 12 должно быть 5: \[ x^2 + y = 5, xy = -6 \Rightarrow x^2 - \frac{6}{x} = 5 \Rightarrow x^3 - 5x - 6 = 0 \] Тогда \( x = -2 \) был бы корнем. Но решаем строго по фото. Ответ: Корни уравнения \( x^3 - 12x - 6 = 0 \).