Решение уравнений с x^3: примеры и объяснения

Ниже представлено решение задач из карточки, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Решите уравнение \(x^3 - 7x^2 - 4x + 28 = 0\). Решение: Сгруппируем слагаемые: \[(x^3 - 7x^2) - (4x - 28) = 0\] Вынесем общие множители за скобки: \[x^2(x - 7) - 4(x - 7) = 0\] Теперь вынесем общую скобку \((x - 7)\): \[(x - 7)(x^2 - 4) = 0\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \(x - 7 = 0 \Rightarrow x_1 = 7\) 2) \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 2\) Ответ: \(-2; 2; 7\). Задание 2. Решите уравнение \(x^3 + 7x^2 = 9x + 63\). Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть: \[x^3 + 7x^2 - 9x - 63 = 0\] Сгруппируем слагаемые: \[(x^3 + 7x^2) - (9x + 63) = 0\] Вынесем общие множители: \[x^2(x + 7) - 9(x + 7) = 0\] Вынесем общую скобку \((x + 7)\): \[(x + 7)(x^2 - 9) = 0\] Приравняем каждый множитель к нулю: 1) \(x + 7 = 0 \Rightarrow x_1 = -7\) 2) \(x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 3\) Ответ: \(-7; -3; 3\). Задание 3. Решите уравнение \(2x^2 + 3x + \sqrt{-3 - x} = \sqrt{-3 - x} + 27\). Решение: 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \[-3 - x \ge 0 \Rightarrow -x \ge 3 \Rightarrow x \le -3\] 2. При условии выполнения ОДЗ, мы можем вычесть \(\sqrt{-3 - x}\) из обеих частей уравнения: \[2x^2 + 3x = 27\] \[2x^2 + 3x - 27 = 0\] 3. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225 = 15^2\] \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1 = \frac{-3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3\] \[x_2 = \frac{-3 - 15}{4} = \frac{-18}{4} = -4,5\] 4. Проверим корни по ОДЗ (\(x \le -3\)): \(x_1 = 3\) — не подходит, так как \(3 > -3\). \(x_2 = -4,5\) — подходит, так как \(-4,5 \le -3\). Ответ: \(-4,5\).