Решение задачи: Найти промежутки монотонности функции

Задание: Найти промежутки монотонности функции. Решение: Для нахождения промежутков монотонности необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю (найти критические точки) и определить знаки производной на полученных интервалах. 1. \( y = 2x^3 + 3x^2 - 100 \) Найдем производную: \[ y' = (2x^3 + 3x^2 - 100)' = 6x^2 + 6x \] Приравняем производную к нулю: \[ 6x^2 + 6x = 0 \] \[ 6x(x + 1) = 0 \] Критические точки: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -1 \). Определим знаки производной на интервалах: На \( (-\infty; -1) \) производная \( y' > 0 \) (функция возрастает). На \( (-1; 0) \) производная \( y' < 0 \) (функция убывает). На \( (0; +\infty) \) производная \( y' > 0 \) (функция возрастает). Ответ: возрастает на \( (-\infty; -1] \) и \( [0; +\infty) \); убывает на \( [-1; 0] \). 2. \( y = x^3 + 2x^2 + 6 \) Найдем производную: \[ y' = (x^3 + 2x^2 + 6)' = 3x^2 + 4x \] Приравняем производную к нулю: \[ 3x^2 + 4x = 0 \] \[ x(3x + 4) = 0 \] Критические точки: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -\frac{4}{3} \). Определим знаки производной: На \( (-\infty; -\frac{4}{3}) \) производная \( y' > 0 \) (функция возрастает). На \( (-\frac{4}{3}; 0) \) производная \( y' < 0 \) (функция убывает). На \( (0; +\infty) \) производная \( y' > 0 \) (функция возрастает). Ответ: возрастает на \( (-\infty; -1\frac{1}{3}] \) и \( [0; +\infty) \); убывает на \( [-1\frac{1}{3}; 0] \). 3. \( y = 5x^2 + 15x - 1 \) Найдем производную: \[ y' = (5x^2 + 15x - 1)' = 10x + 15 \] Приравняем производную к нулю: \[ 10x + 15 = 0 \] \[ 10x = -15 \] \[ x = -1,5 \] Определим знаки производной: На \( (-\infty; -1,5) \) производная \( y' < 0 \) (функция убывает). На \( (-1,5; +\infty) \) производная \( y' > 0 \) (функция возрастает). Ответ: убывает на \( (-\infty; -1,5] \); возрастает на \( [-1,5; +\infty) \).