Упрощение переключательной схемы: Решение задачи

Решение задачи по упрощению переключательной схемы. 1. Составим логическую функцию по заданной схеме. Схема состоит из пяти параллельных ветвей. Каждая ветвь представляет собой последовательное соединение переключателей (логическое умножение - конъюнкция), а параллельное соединение ветвей соответствует логическому сложению (дизъюнкция). Определим состояние контактов в каждой ветви сверху вниз: - 1-я ветвь: \(x \cdot y \cdot z\) - 2-я ветвь: \(x \cdot y \cdot \bar{z}\) - 3-я ветвь: \(x \cdot \bar{y} \cdot \bar{z}\) - 4-я ветвь: \(\bar{x} \cdot y \cdot \bar{z}\) - 5-я ветвь: \(\bar{x} \cdot \bar{y} \cdot \bar{z}\) Общая функция проводимости схемы: \[F(x, y, z) = (x \cdot y \cdot z) \lor (x \cdot y \cdot \bar{z}) \lor (x \cdot \bar{y} \cdot \bar{z}) \lor (\bar{x} \cdot y \cdot \bar{z}) \lor (\bar{x} \cdot \bar{y} \cdot \bar{z})\] 2. Упростим полученное выражение. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье, четвертое и пятое: \[F = x \cdot y \cdot (z \lor \bar{z}) \lor \bar{z} \cdot (x \cdot \bar{y} \lor \bar{x} \cdot y \lor \bar{x} \cdot \bar{y})\] Так как \(z \lor \bar{z} = 1\), выражение принимает вид: \[F = x \cdot y \lor \bar{z} \cdot (x \cdot \bar{y} \lor \bar{x} \cdot (y \lor \bar{y}))\] Учитывая, что \(y \lor \bar{y} = 1\): \[F = x \cdot y \lor \bar{z} \cdot (x \cdot \bar{y} \lor \bar{x})\] Применим закон поглощения (дистрибутивности) для выражения в скобках \((x \cdot \bar{y} \lor \bar{x}) = (\bar{x} \lor x) \cdot (\bar{x} \lor \bar{y}) = 1 \cdot (\bar{x} \lor \bar{y})\): \[F = x \cdot y \lor \bar{z} \cdot (\bar{x} \lor \bar{y})\] Раскроем скобки: \[F = x \cdot y \lor \bar{z} \cdot \bar{x} \lor \bar{z} \cdot \bar{y}\] Используем закон де Моргана для последних двух слагаемых: \(\bar{z} \cdot \bar{x} \lor \bar{z} \cdot \bar{y} = \bar{z} \cdot (\bar{x} \lor \bar{y}) = \bar{z} \cdot \overline{x \cdot y}\). Пусть \(A = x \cdot y\), тогда выражение выглядит как \(A \lor \bar{z} \cdot \bar{A}\). По закону упрощения \(A \lor \bar{A} \cdot B = A \lor B\), получаем: \[F = x \cdot y \lor \bar{z}\] 3. Ответ: Упрощенная функция имеет вид: \[F = (x \cdot y) \lor \bar{z}\] Словесное описание упрощенной схемы: Схема состоит из двух параллельных участков. Первый участок — это последовательно соединенные контакты \(x\) и \(y\). Второй участок — это один контакт \(\bar{z}\) (нормально замкнутый).