Решение задачи: √16a^9 * √4b^3 / √a^5b^3 при a=9, b=11

Задание: Найдите значение выражения \[ \frac{\sqrt{16a^9} \cdot \sqrt{4b^3}}{\sqrt{a^5b^3}} \] при \( a = 9 \) и \( b = 11 \). Решение: 1. Сначала упростим выражение, используя свойства корней \( \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y} \) и \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}} \). Объединим всё под один корень: \[ \frac{\sqrt{16a^9 \cdot 4b^3}}{\sqrt{a^5b^3}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 4 \cdot a^9 \cdot b^3}{a^5 \cdot b^3}} \] 2. Сократим дробь под корнем. Заметим, что \( b^3 \) в числителе и знаменателе сокращаются. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются (\( a^9 : a^5 = a^{9-5} = a^4 \)): \[ \sqrt{16 \cdot 4 \cdot a^4} \] 3. Извлечем корень из каждого множителя: \[ \sqrt{16} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^4} = 4 \cdot 2 \cdot a^2 = 8a^2 \] 4. Подставим значение \( a = 9 \) в полученное упрощенное выражение (значение \( b \) нам не понадобилось, так как оно сократилось): \[ 8 \cdot 9^2 = 8 \cdot 81 \] 5. Выполним умножение: \[ 8 \cdot 81 = 648 \] Ответ: 648.