Упрощение переключательной схемы: Решение задачи

Задание: Упростить переключательную схему. Решение: 1. Составим логическую функцию по заданной схеме. Схема состоит из пяти параллельных ветвей. В каждой ветви переключатели соединены последовательно. Последовательное соединение соответствует логическому умножению (конъюнкции), а параллельное — логическому сложению (дизъюнкции). Обозначим состояние переключателей: \(x, y, z\) — включено, \(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}\) — выключено. Запишем функцию для каждой ветви сверху вниз: - 1-я ветвь: \(x \cdot y \cdot z\) - 2-я ветвь: \(x \cdot y \cdot \bar{z}\) - 3-я ветвь: \(x \cdot \bar{y} \cdot \bar{z}\) - 4-я ветвь: \(\bar{x} \cdot \bar{y} \cdot \bar{z}\) - 5-я ветвь: \(\bar{x} \cdot \bar{y} \cdot z\) Общая функция проводимости схемы: \[ F(x, y, z) = (x \cdot y \cdot z) \lor (x \cdot y \cdot \bar{z}) \lor (x \cdot \bar{y} \cdot \bar{z}) \lor (\bar{x} \cdot \bar{y} \cdot \bar{z}) \lor (\bar{x} \cdot \bar{y} \cdot z) \] 2. Упростим полученное выражение, используя законы алгебры логики (закон дистрибутивности и закон исключенного третьего \(a \lor \bar{a} = 1\)): Сгруппируем 1-е и 2-е слагаемые, а также 4-е и 5-е: \[ F = x \cdot y \cdot (z \lor \bar{z}) \lor (x \cdot \bar{y} \cdot \bar{z}) \lor \bar{x} \cdot \bar{y} \cdot (\bar{z} \lor z) \] Так как \(z \lor \bar{z} = 1\), получаем: \[ F = (x \cdot y) \lor (x \cdot \bar{y} \cdot \bar{z}) \lor (\bar{x} \cdot \bar{y}) \] Теперь сгруппируем 2-е и 3-е слагаемые, вынеся за скобки \(\bar{y}\): \[ F = (x \cdot y) \lor \bar{y} \cdot (x \cdot \bar{z} \lor \bar{x}) \] Применим закон поглощения (или распределительный закон) к выражению в скобках \(\bar{x} \lor x \cdot \bar{z} = \bar{x} \lor \bar{z}\): \[ F = (x \cdot y) \lor \bar{y} \cdot (\bar{x} \lor \bar{z}) \] Раскроем скобки: \[ F = x \cdot y \lor \bar{y} \cdot \bar{x} \lor \bar{y} \cdot \bar{z} \] 3. Дальнейшее упрощение (используем \(a \lor \bar{a}b = a \lor b\)): Заметим, что \(x \cdot y \lor \bar{x} \cdot \bar{y}\) — это функция "равнозначность" (или отрицание исключающего ИЛИ). Однако для построения простой схемы удобнее оставить выражение в виде: \[ F = x \cdot y \lor \bar{x} \cdot \bar{y} \lor \bar{y} \cdot \bar{z} \] Можно упростить еще раз, сгруппировав последние два члена: \[ F = x \cdot y \lor \bar{y} \cdot (\bar{x} \lor \bar{z}) \] Ответ: Упрощенная функция имеет вид \( F = x \cdot y \lor \bar{y} \cdot \bar{x} \lor \bar{y} \cdot \bar{z} \). Схема будет состоять из трех параллельных ветвей: 1. Переключатели \(x\) и \(y\) последовательно. 2. Переключатели \(\bar{x}\) и \(\bar{y}\) последовательно. 3. Переключатели \(\bar{y}\) и \(\bar{z}\) последовательно.