Упрощение логического выражения для переключательной схемы

Для решения данной задачи необходимо упростить логическое выражение, соответствующее представленной переключательной схеме. Схема состоит из пяти параллельных ветвей, в каждой из которых по три последовательно соединенных контакта. Запишем исходную функцию проводимости по предоставленному черновику: \[ F = xyz \lor xy\bar{z} \lor x\bar{y}\bar{z} \lor \bar{x}y\bar{z} \lor \bar{x}\bar{y}\bar{z} \] Приступим к упрощению, используя законы алгебры логики (булевой алгебры). 1. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье, четвертое и пятое: \[ F = (xyz \lor xy\bar{z}) \lor (x\bar{y}\bar{z} \lor \bar{x}y\bar{z} \lor \bar{x}\bar{y}\bar{z}) \] 2. В первой скобке вынесем за скобки общий множитель \( xy \): \[ xyz \lor xy\bar{z} = xy(z \lor \bar{z}) \] Так как \( z \lor \bar{z} = 1 \), то первая часть выражения равна \( xy \). 3. Теперь упростим оставшуюся часть: \( x\bar{y}\bar{z} \lor \bar{x}y\bar{z} \lor \bar{x}\bar{y}\bar{z} \). Вынесем \( \bar{z} \) за скобки: \[ \bar{z}(x\bar{y} \lor \bar{x}y \lor \bar{x}\bar{y}) \] 4. Внутри скобок сгруппируем \( x\bar{y} \) и \( \bar{x}\bar{y} \): \[ x\bar{y} \lor \bar{x}\bar{y} \lor \bar{x}y = \bar{y}(x \lor \bar{x}) \lor \bar{x}y = \bar{y} \cdot 1 \lor \bar{x}y = \bar{y} \lor \bar{x}y \] 5. Используем закон поглощения (дистрибутивности): \( A \lor \bar{A}B = A \lor B \). В нашем случае: \( \bar{y} \lor \bar{x}y = \bar{y} \lor \bar{x} \). 6. Подставим полученный результат обратно в выражение с \( \bar{z} \): \[ \bar{z}(\bar{y} \lor \bar{x}) = \bar{z}\bar{y} \lor \bar{z}\bar{x} \] 7. Собираем всё выражение целиком: \[ F = xy \lor \bar{z}\bar{y} \lor \bar{z}\bar{x} \] 8. Можно также сгруппировать иначе для более компактного вида. Заметим, что исходное выражение можно упростить через вынесение \( \bar{z} \) из всех слагаемых, где оно есть: \[ F = xyz \lor \bar{z}(xy \lor x\bar{y} \lor \bar{x}y \lor \bar{x}\bar{y}) \] Выражение в скобках \( (xy \lor x\bar{y} \lor \bar{x}y \lor \bar{x}\bar{y}) \) представляет собой полную дизъюнкцию всех комбинаций \( x \) и \( y \), что всегда равно \( 1 \). Тогда: \[ F = xyz \lor \bar{z} \cdot 1 = xyz \lor \bar{z} \] 9. Применим закон распределения \( A \lor \bar{B}C = (A \lor \bar{B})(A \lor C) \): \[ F = \bar{z} \lor xyz = (\bar{z} \lor x)(\bar{z} \lor y)(\bar{z} \lor z) \] Так как \( \bar{z} \lor z = 1 \), получаем: \[ F = (\bar{z} \lor x)(\bar{z} \lor y) \] Или, если раскрыть скобки обратно: \[ F = \bar{z} \lor xy \] Ответ: \( F = xy \lor \bar{z} \)