Задача 1039: Углы между векторами в квадрате

Задача №1039 Дано: ABCD — квадрат, AC и BD — диагонали, O — точка пересечения диагоналей. Найти углы между векторами. Решение: Вспомним свойства квадрата: 1. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. 2. Диагонали являются биссектрисами его углов (углы между стороной и диагональю равны \(45^\circ\)). а) Угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\). Векторы выходят из одной точки A. Угол между ними равен углу BAC. Так как AC — биссектриса угла A (\(90^\circ\)), то: \[\angle(\vec{AB}, \vec{AC}) = 45^\circ\] б) Угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{DA}\). Совместим начала векторов. Перенесем \(\vec{DA}\) в точку A, получим вектор \(\vec{AE}\), который сонаправлен с \(\vec{DA}\). Угол между сторонами квадрата \(90^\circ\). \[\angle(\vec{AB}, \vec{DA}) = 90^\circ\] в) Угол между \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\). Диагонали квадрата перпендикулярны (\(AC \perp BD\)). \[\angle(\vec{OA}, \vec{OB}) = 90^\circ\] г) Угол между \(\vec{AO}\) и \(\vec{OB}\). Вектор \(\vec{AO}\) направлен от A к O, а \(\vec{OB}\) от O к B. Если продлить \(\vec{AO}\) за точку O, то угол между ними будет смежным углу AOB. Так как \(\angle AOB = 90^\circ\), то: \[\angle(\vec{AO}, \vec{OB}) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\] д) Угол между \(\vec{OA}\) и \(\vec{OC}\). Эти векторы лежат на одной прямой AC и направлены в противоположные стороны от точки O. \[\angle(\vec{OA}, \vec{OC}) = 180^\circ\] е) Угол между \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\). Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. \[\angle(\vec{AC}, \vec{BD}) = 90^\circ\] ж) Угол между \(\vec{AD}\) и \(\vec{DB}\). В треугольнике ABD угол ADB равен \(45^\circ\). Вектор \(\vec{AD}\) направлен к D, а \(\vec{DB}\) от D. Угол между ними равен внешнему углу треугольника при вершине D: \[\angle(\vec{AD}, \vec{DB}) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\] з) Угол между \(\vec{AO}\) и \(\vec{OC}\). Вектор \(\vec{AO}\) направлен от A к O, вектор \(\vec{OC}\) также направлен вдоль этой же прямой от O к C. Они сонаправлены. \[\angle(\vec{AO}, \vec{OC}) = 0^\circ\]