Решение задачи: Графики функций y = -1/3x + 1, y = -1/3x - 2, y = -1/3x

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.
1. Постройте в одной системе координат графики функций \(y = -\frac{1}{3}x + 1\), \(y = -\frac{1}{3}x - 2\), \(y = -\frac{1}{3}x\). Ответьте на вопросы: 1) чему равен угловой коэффициент каждой прямой; 2) каково взаимное расположение графиков функций; 3) каковы координаты пересечения каждого графика с осями координат?
Решение:
1) Угловой коэффициент \(k\) в уравнении прямой \(y = kx + b\) — это число, стоящее перед \(x\). Для всех трех функций: \(y = -\frac{1}{3}x + 1 \Rightarrow k = -\frac{1}{3}\) \(y = -\frac{1}{3}x - 2 \Rightarrow k = -\frac{1}{3}\) \(y = -\frac{1}{3}x \Rightarrow k = -\frac{1}{3}\) Ответ: Угловой коэффициент каждой прямой равен \(-\frac{1}{3}\).
2) Если угловые коэффициенты прямых равны, то эти прямые параллельны. Поскольку угловые коэффициенты всех трех прямых одинаковы (\(k = -\frac{1}{3}\)), то все эти графики параллельны друг другу. Ответ: Графики функций параллельны.
3) Координаты пересечения с осями координат: Пересечение с осью \(Oy\) (ось \(y\)): \(x = 0\). Пересечение с осью \(Ox\) (ось \(x\)): \(y = 0\).
Для функции \(y = -\frac{1}{3}x + 1\): С осью \(Oy\): \(x = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}(0) + 1 = 1\). Точка пересечения: \((0; 1)\). С осью \(Ox\): \(y = 0 \Rightarrow 0 = -\frac{1}{3}x + 1 \Rightarrow \frac{1}{3}x = 1 \Rightarrow x = 3\). Точка пересечения: \((3; 0)\).
Для функции \(y = -\frac{1}{3}x - 2\): С осью \(Oy\): \(x = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}(0) - 2 = -2\). Точка пересечения: \((0; -2)\). С осью \(Ox\): \(y = 0 \Rightarrow 0 = -\frac{1}{3}x - 2 \Rightarrow \frac{1}{3}x = -2 \Rightarrow x = -6\). Точка пересечения: \((-6; 0)\).
Для функции \(y = -\frac{1}{3}x\): С осью \(Oy\): \(x = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}(0) = 0\). Точка пересечения: \((0; 0)\). С осью \(Ox\): \(y = 0 \Rightarrow 0 = -\frac{1}{3}x \Rightarrow x = 0\). Точка пересечения: \((0; 0)\). (Эта прямая проходит через начало координат).
Ответ: Для \(y = -\frac{1}{3}x + 1\): с осью \(Oy\) в \((0; 1)\), с осью \(Ox\) в \((3; 0)\). Для \(y = -\frac{1}{3}x - 2\): с осью \(Oy\) в \((0; -2)\), с осью \(Ox\) в \((-6; 0)\). Для \(y = -\frac{1}{3}x\): с осью \(Oy\) в \((0; 0)\), с осью \(Ox\) в \((0; 0)\).
(Для построения графиков нужно выбрать две точки для каждой прямой и провести через них линию. Например, для \(y = -\frac{1}{3}x + 1\) это \((0; 1)\) и \((3; 0)\)).
2. Постройте в одной системе координат графики функций \(y = x - 2\), \(y = -2x - 2\), \(y = -2\). Ответьте на вопросы: 1) в какой точке каждый график пересекает ось \(y\), ось \(x\); 2) каково взаимное расположение графиков?
Решение:
1) Координаты пересечения с осями координат: Пересечение с осью \(Oy\) (ось \(y\)): \(x = 0\). Пересечение с осью \(Ox\) (ось \(x\)): \(y = 0\).
Для функции \(y = x - 2\): С осью \(Oy\): \(x = 0 \Rightarrow y = 0 - 2 = -2\). Точка пересечения: \((0; -2)\). С осью \(Ox\): \(y = 0 \Rightarrow 0 = x - 2 \Rightarrow x = 2\). Точка пересечения: \((2; 0)\).
Для функции \(y = -2x - 2\): С осью \(Oy\): \(x = 0 \Rightarrow y = -2(0) - 2 = -2\). Точка пересечения: \((0; -2)\). С осью \(Ox\): \(y = 0 \Rightarrow 0 = -2x - 2 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1\). Точка пересечения: \((-1; 0)\).
Для функции \(y = -2\): С осью \(Oy\): \(x = 0 \Rightarrow y = -2\). Точка пересечения: \((0; -2)\). (Эта прямая горизонтальна и проходит через \(y = -2\)). С осью \(Ox\): \(y = 0 \Rightarrow -2 = 0\). Это невозможно. Значит, прямая \(y = -2\) не пересекает ось \(Ox\).
Ответ: Для \(y = x - 2\): с осью \(Oy\) в \((0; -2)\), с осью \(Ox\) в \((2; 0)\). Для \(y = -2x - 2\): с осью \(Oy\) в \((0; -2)\), с осью \(Ox\) в \((-1; 0)\). Для \(y = -2\): с осью \(Oy\) в \((0; -2)\), ось \(Ox\) не пересекает.
2) Взаимное расположение графиков: Угловые коэффициенты: Для \(y = x - 2 \Rightarrow k_1 = 1\) Для \(y = -2x - 2 \Rightarrow k_2 = -2\) Для \(y = -2 \Rightarrow k_3 = 0\) (это горизонтальная прямая)
Поскольку угловые коэффициенты всех трех прямых различны, то все эти прямые пересекаются. Заметим, что все три прямые пересекают ось \(Oy\) в одной и той же точке \((0; -2)\). Это означает, что они все проходят через эту общую точку. Ответ: Все графики пересекаются в одной точке \((0; -2)\).
(Для построения графиков: Для \(y = x - 2\): точки \((0; -2)\) и \((2; 0)\). Для \(y = -2x - 2\): точки \((0; -2)\) и \((-1; 0)\). Для \(y = -2\): горизонтальная прямая, проходящая через \(y = -2\)).
3. В одной системе координат постройте графики функций, вычислив координаты точек пересечения графиков с осями: \(y = 3x - 6\), \(y = -3x - 6\), \(y = 3x + 6\), \(y = -3x + 6\). Укажите пары параллельных прямых.
Решение:
Координаты пересечения с осями координат: Пересечение с осью \(Oy\) (ось \(y\)): \(x = 0\). Пересечение с осью \(Ox\) (ось \(x\)): \(y = 0\).
1) Для функции \(y = 3x - 6\): С осью \(Oy\): \(x = 0 \Rightarrow y = 3(0) - 6 = -6\). Точка: \((0; -6)\). С осью \(Ox\): \(y = 0 \Rightarrow 0 = 3x - 6 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\). Точка: \((2; 0)\). Угловой коэффициент \(k_1 = 3\).
2) Для функции \(y = -3x - 6\): С осью \(Oy\): \(x = 0 \Rightarrow y = -3(0) - 6 = -6\). Точка: \((0; -6)\). С осью \(Ox\): \(y = 0 \Rightarrow 0 = -3x - 6 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2\). Точка: \((-2; 0)\). Угловой коэффициент \(k_2 = -3\).
3) Для функции \(y = 3x + 6\): С осью \(Oy\): \(x = 0 \Rightarrow y = 3(0) + 6 = 6\). Точка: \((0; 6)\). С осью \(Ox\): \(y = 0 \Rightarrow 0 = 3x + 6 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2\). Точка: \((-2; 0)\). Угловой коэффициент \(k_3 = 3\).
4) Для функции \(y = -3x + 6\): С осью \(Oy\): \(x = 0 \Rightarrow y = -3(0) + 6 = 6\). Точка: \((0; 6)\). С осью \(Ox\): \(y = 0 \Rightarrow 0 = -3x + 6 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\). Точка: \((2; 0)\). Угловой коэффициент \(k_4 = -3\).
Пары параллельных прямых: Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. \(k_1 = 3\) (для \(y = 3x - 6\)) \(k_2 = -3\) (для \(y = -3x - 6\)) \(k_3 = 3\) (для \(y = 3x + 6\)) \(k_4 = -3\) (для \(y = -3x + 6\))
Пары параллельных прямых: 1) \(y = 3x - 6\) и \(y = 3x + 6\) (у них \(k = 3\)). 2) \(y = -3x - 6\) и \(y = -3x + 6\) (у них \(k = -3\)).
Ответ: Точки пересечения с осями: Для \(y = 3x - 6\): \((0; -6)\) и \((2; 0)\). Для \(y = -3x - 6\): \((0; -6)\) и \((-2; 0)\). Для \(y = 3x + 6\): \((0; 6)\) и \((-2; 0)\). Для \(y = -3x + 6\): \((0; 6)\) и \((2; 0)\).
Пары параллельных прямых: 1) \(y = 3x - 6\) и \(y = 3x + 6\). 2) \(y = -3x - 6\) и \(y = -3x + 6\).
(Для построения графиков используйте найденные точки. Например, для \(y = 3x - 6\) это \((0; -6)\) и \((2; 0)\)).
4. Пересекаются ли графики функций \(y = 2x - 4\) и \(y = -4x + 2\); \(y = 2x - 3\) и \(y = 2x + 3\)? В том случае, когда графики пересекаются, постройте их. Определите по графику координаты точки пересечения и проверьте результаты вычислением.
Решение:
1) Рассмотрим функции \(y = 2x - 4\) и \(y = -4x + 2\). Угловые коэффициенты: \(k_1 = 2\) и \(k_2 = -4\). Так как \(k_1 \neq k_2\), графики этих функций пересекаются.
Найдем точку пересечения вычислением: Приравняем правые части уравнений: \(2x - 4 = -4x + 2\) \(2x + 4x = 2 + 4\) \(6x = 6\) \(x = 1\)
Теперь найдем \(y\), подставив \(x = 1\) в любое из уравнений: \(y = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2\) Точка пересечения: \((1; -2)\).
Построение графиков: Для \(y = 2x - 4\): С осью \(Oy\): \(x = 0 \Rightarrow y = -4\). Точка: \((0; -4)\). С осью \(Ox\): \(y = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\). Точка: \((2; 0)\). Используем также точку пересечения \((1; -2)\).
Для \(y = -4x + 2\): С осью \(Oy\): \(x = 0 \Rightarrow y = 2\). Точка: \((0; 2)\). С осью \(Ox\): \(y = 0 \Rightarrow -4x = -2 \Rightarrow x = 0.5\). Точка: \((0.5; 0)\). Используем также точку пересечения \((1; -2)\).
Постройте эти две прямые на координатной плоскости. Вы увидите, что они пересекаются в точке \((1; -2)\).
2) Рассмотрим функции \(y = 2x - 3\) и \(y = 2x + 3\). Угловые коэффициенты: \(k_1 = 2\) и \(k_2 = 2\). Так как угловые коэффициенты равны (\(k_1 = k_2 = 2\)), а свободные члены различны (\(-3 \neq 3\)), графики этих функций параллельны и не пересекаются.
Ответ: 1) Графики функций \(y = 2x - 4\) и \(y = -4x + 2\) пересекаются. Точка пересечения \((1; -2)\). 2) Графики функций \(y = 2x - 3\) и \(y = 2x + 3\) не пересекаются, они параллельны.
5. Задайте формулой линейную функцию, если известны угловой коэффициент \(k\) соответствующей прямой и координаты точки \(A\), через которую она проходит: а) \(k = \frac{2}{3}\), \(A(-6; -3)\); б) \(k = -4\), \(A(2; 7)\).
Решение:
Общий вид линейной функции: \(y = kx + b\). Мы знаем \(k\) и координаты точки \((x; y)\), через которую проходит прямая. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти \(b\).
а) Дано: \(k = \frac{2}{3}\), \(A(-6; -3)\). Подставим \(k\), \(x = -6\) и \(y = -3\) в формулу \(y = kx + b\): \(-3 = \frac{2}{3}(-6) + b\) \(-3 = -4 + b\) \(b = -3 + 4\) \(b = 1\) Формула линейной функции: \(y = \frac{2}{3}x + 1\).
б) Дано: \(k = -4\), \(A(2; 7)\). Подставим \(k\), \(x = 2\) и \(y = 7\) в формулу \(y = kx + b\): \(7 = -4(2) + b\) \(7 = -8 + b\) \(b = 7 + 8\) \(b = 15\) Формула линейной функции: \(y = -4x + 15\).
Ответ: а) \(y = \frac{2}{3}x + 1\) б) \(y = -