Решение уравнений из карточки А-8

Решение уравнений из карточки А-8. 1) Решим уравнение \(x^3 - 3x^2 - 8x + 24 = 0\). Применим метод группировки: \[(x^3 - 3x^2) - (8x - 24) = 0\] Вынесем общие множители за скобки: \[x^2(x - 3) - 8(x - 3) = 0\] \[(x - 3)(x^2 - 8) = 0\] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1. \(x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3\) 2. \(x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm\sqrt{8} \Rightarrow x_{2,3} = \pm 2\sqrt{2}\) Ответ: \(3; \pm 2\sqrt{2}\). 2) Решим уравнение \((x - 2)^2(x - 3) = 12(x - 2)\). Перенесем всё в левую часть: \[(x - 2)^2(x - 3) - 12(x - 2) = 0\] Вынесем общий множитель \((x - 2)\) за скобки: \[(x - 2) \cdot ((x - 2)(x - 3) - 12) = 0\] \[(x - 2) \cdot (x^2 - 3x - 2x + 6 - 12) = 0\] \[(x - 2)(x^2 - 5x - 6) = 0\] 1. \(x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2\) 2. \(x^2 - 5x - 6 = 0\) По теореме Виета: \(x_2 + x_3 = 5\), \(x_2 \cdot x_3 = -6\). Отсюда \(x_2 = 6\), \(x_3 = -1\). Ответ: \(-1; 2; 6\). 3) Решим уравнение \((x + 5)^3 = 25(x + 5)\). Перенесем в одну сторону: \[(x + 5)^3 - 25(x + 5) = 0\] Вынесем \((x + 5)\): \[(x + 5)((x + 5)^2 - 25) = 0\] Разложим разность квадратов во второй скобке: \[(x + 5)((x + 5) - 5)((x + 5) + 5) = 0\] \[(x + 5) \cdot x \cdot (x + 10) = 0\] Корни уравнения: \(x_1 = -5\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = -10\). Ответ: \(-10; -5; 0\). 4) Решим уравнение \(-3x^2 - 14x - 7 = (x - 1)^2\). Раскроем скобки в правой части: \[-3x^2 - 14x - 7 = x^2 - 2x + 1\] Перенесем всё в правую часть, чтобы коэффициент при \(x^2\) стал положительным: \[x^2 + 3x^2 - 2x + 14x + 1 + 7 = 0\] \[4x^2 + 12x + 8 = 0\] Разделим всё уравнение на 4: \[x^2 + 3x + 2 = 0\] По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = 2\). Отсюда \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\). Ответ: \(-2; -1\).