Решение задачи 4.14: Вероятность приставки кости домино

Задача 4.14 Решение: В полном наборе домино всего 28 костей. После того как извлечена первая кость, в наборе остается 27 костей. Пусть событие \(A\) — вторую кость можно приставить к первой. Вероятность этого события зависит от того, какая кость была вытянута первой. Рассмотрим две гипотезы: 1. Гипотеза \(H_1\): первая кость является дублем (например, 0-0, 1-1 и т.д.). Всего в наборе 7 дублей. Вероятность этой гипотезы: \[P(H_1) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}\] Если первая кость — дубль (например, 1-1), то к ней можно приставить только кости, имеющие число 1. Таких костей в наборе 7, но одна из них (сам дубль) уже вытянута. Значит, остается 6 подходящих костей из 27 оставшихся. Условная вероятность: \[P(A|H_1) = \frac{6}{27}\] 2. Гипотеза \(H_2\): первая кость не является дублем (например, 1-2). Таких костей \(28 - 7 = 21\). Вероятность этой гипотезы: \[P(H_2) = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}\] Если первая кость не дубль (например, 1-2), то к ней можно приставить кости, имеющие либо число 1, либо число 2. В наборе 7 костей с числом 1 и 7 костей с числом 2. При этом кость 1-2 общая для обоих списков и она уже вытянута. Количество подходящих костей: \((7 - 1) + (7 - 1) = 6 + 6 = 12\). Условная вероятность: \[P(A|H_2) = \frac{12}{27}\] По формуле полной вероятности: \[P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)\] Подставим значения: \[P(A) = \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{27} + \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{27} = \frac{6}{108} + \frac{36}{108} = \frac{42}{108}\] Сократим дробь на 6: \[P(A) = \frac{7}{18}\] Ответ: \(\frac{7}{18}\) (или примерно 0,389).