Сокращение дроби (x^2 + 5x - 36)/(81 - x^2): Решение

Задание: Сократите дробь \(\frac{x^2 + 5x - 36}{81 - x^2}\). Решение: Для сокращения дроби необходимо разложить на множители числитель и знаменатель. 1. Разложим числитель \(x^2 + 5x - 36\) на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 5x - 36 = 0\) по теореме Виета: \[x_1 + x_2 = -5\] \[x_1 \cdot x_2 = -36\] Корнями являются числа \(x_1 = -9\) и \(x_2 = 4\). Следовательно, числитель раскладывается так: \[x^2 + 5x - 36 = (x + 9)(x - 4)\] 2. Разложим знаменатель \(81 - x^2\) по формуле разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): \[81 - x^2 = 9^2 - x^2 = (9 - x)(9 + x)\] 3. Подставим разложенные выражения в дробь: \[\frac{(x + 9)(x - 4)}{(9 - x)(9 + x)}\] 4. Заметим, что \((x + 9)\) и \((9 + x)\) — это одно и то же выражение. Сократим на него: \[\frac{x - 4}{9 - x}\] Ответ: \(\frac{x - 4}{9 - x}\) (третий вариант в списке).