Решение задачи: Четырехугольник ABCD вписан в окружность

Ниже представлены решения первых семи задач из вашего варианта, оформленные для записи в тетрадь. Задание 1 Условие: Четырехугольник ABCD вписан в окружность. \( \angle ABC = 106^\circ \), \( \angle CAD = 46^\circ \). Найдите \( \angle ABD \). Решение: 1) Углы \( \angle ABC \) и \( \angle ADC \) в сумме дают \( 180^\circ \), так как четырехугольник вписан. Однако проще рассмотреть дуги. 2) Угол \( \angle ABC \) опирается на дугу \( ADC \). Значит, дуга \( \cup ADC = 2 \cdot 106^\circ = 212^\circ \). 3) Угол \( \angle CAD \) — вписанный, опирается на дугу \( CD \). Значит, дуга \( \cup CD = 2 \cdot 46^\circ = 92^\circ \). 4) Дуга \( \cup AD = \cup ADC - \cup CD = 212^\circ - 92^\circ = 120^\circ \). 5) Искомый угол \( \angle ABD \) опирается на дугу \( AD \). \[ \angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \] Ответ: 60. Задание 2 Условие: Найдите длину вектора \( -3\vec{a} + \vec{b} \). Решение: 1) Определим координаты векторов по клеткам: \( \vec{a} = (4; -2) \) (смещение на 4 вправо и на 2 вниз). \( \vec{b} = (0; 3) \) (смещение на 0 по горизонтали и на 3 вверх). 2) Найдем координаты вектора \( \vec{c} = -3\vec{a} + \vec{b} \): \[ x_c = -3 \cdot 4 + 0 = -12 \] \[ y_c = -3 \cdot (-2) + 3 = 6 + 3 = 9 \] 3) Найдем длину вектора \( |\vec{c}| \): \[ |\vec{c}| = \sqrt{(-12)^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \] Ответ: 15. Задание 3 Условие: Найдите объем призмы, если объем отсеченной треугольной призмы равен 16. Решение: 1) Плоскость проходит через среднюю линию основания. Площадь основания отсеченной призмы \( S_{отс} \) относится к площади основания исходной призмы \( S_{осн} \) как коэффициент подобия в квадрате. 2) Так как это средняя линия, \( k = \frac{1}{2} \), значит \( S_{отс} = (\frac{1}{2})^2 S_{осн} = \frac{1}{4} S_{осн} \). 3) Высота \( h \) у призм общая. \[ V_{отс} = S_{отс} \cdot h = \frac{1}{4} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{4} V_{общ} \] 4) \( V_{общ} = 4 \cdot V_{отс} = 4 \cdot 16 = 64 \). Ответ: 64. Задание 4 Условие: Вероятность того, что в трех играх «Труд» выиграет жребий не менее одного раза. Решение: 1) Проще найти вероятность противоположного события: «Труд» не выиграет жребий ни разу (проиграет все 3 раза). 2) Вероятность проигрыша в одном матче \( p = 0,5 \). 3) Вероятность проиграть 3 раза подряд: \( P(A') = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125 \). 4) Искомая вероятность: \[ P(A) = 1 - P(A') = 1 - 0,125 = 0,875 \] Ответ: 0,875. Задание 5 Условие: Найти вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 23 включительно. Решение: 1) Пусть \( A \) — событие «пассажиров меньше 24», \( P(A) = 0,86 \). 2) Пусть \( B \) — событие «пассажиров меньше 15», \( P(B) = 0,67 \). 3) Событие «пассажиров от 15 до 23» — это разность этих событий (так как 23 — это максимальное целое число, которое меньше 24). \[ P = P(A) - P(B) = 0,86 - 0,67 = 0,19 \] Ответ: 0,19. Задание 6 Условие: Решите уравнение \( \sqrt[3]{x+9} = 3 \). Решение: 1) Возведем обе части уравнения в куб: \[ (\sqrt[3]{x+9})^3 = 3^3 \] \[ x + 9 = 27 \] 2) Перенесем 9 в правую часть: \[ x = 27 - 9 \] \[ x = 18 \] Ответ: 18. Задание 7 Условие: Найдите значение выражения \( \log_{0,4} 375 - \log_{0,4} 60 \). Решение: 1) Используем свойство разности логарифмов: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \). \[ \log_{0,4} \frac{375}{60} = \log_{0,4} 6,25 \] 2) Представим числа в виде дробей: \( 0,4 = \frac{2}{5} \), а \( 6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} \). 3) Заметим, что \( \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2 = (\frac{2}{5})^{-2} \). \[ \log_{2/5} (2/5)^{-2} = -2 \] Ответ: -2.