Решение варианта 28: Квадратные уравнения

Вариант 28 1) \( 4 = 20x - 25x^2 \) Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ 25x^2 - 20x + 4 = 0 \] Заметим, что это формула квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \[ (5x - 2)^2 = 0 \] \[ 5x - 2 = 0 \] \[ 5x = 2 \] \[ x = 0,4 \] Ответ: 0,4. 2) \( 2x = x^2 \) Перенесем \( 2x \) в правую часть: \[ x^2 - 2x = 0 \] Вынесем общий множитель \( x \) за скобки: \[ x(x - 2) = 0 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \[ x_1 = 0 \] \[ x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2 \] Ответ: 0; 2. 3) \( 21x + 9x^2 + 10 = 0 \) Запишем в стандартном виде: \[ 9x^2 + 21x + 10 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 21^2 - 4 \cdot 9 \cdot 10 = 441 - 360 = 81 \] \[ \sqrt{D} = 9 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{-21 + 9}{2 \cdot 9} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-21 - 9}{18} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \] Ответ: \( -1\frac{2}{3}; -\frac{2}{3} \). 4) \( 4x^2 = 36 \) Разделим обе части на 4: \[ x^2 = 9 \] \[ x = \pm \sqrt{9} \] \[ x_1 = 3, x_2 = -3 \] Ответ: -3; 3. 5) \( 5 + 4x + x^2 = 0 \) Запишем в стандартном виде: \[ x^2 + 4x + 5 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \] Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. 6) \( x^2 - 12x + 32 = 0 \) Воспользуемся теоремой Виета: \[ x_1 + x_2 = 12 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 32 \] Подбором находим корни: \[ x_1 = 4, x_2 = 8 \] Ответ: 4; 8. 7) \( 5 - 3a^2 - 2a = 0 \) Умножим на -1 и запишем в стандартном виде: \[ 3a^2 + 2a - 5 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 \] \[ \sqrt{D} = 8 \] Находим корни: \[ a_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \] \[ a_2 = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \] Ответ: \( -1\frac{2}{3}; 1 \).