Решение задачи: Графики функций y = -1/3x + 1, y = -1/3x - 2, y = -1/3x

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Постройте в одной системе координат графики функций \(y = -\frac{1}{3}x + 1\), \(y = -\frac{1}{3}x - 2\), \(y = -\frac{1}{3}x\). Ответьте на вопросы: 1) чему равен угловой коэффициент каждой прямой; 2) каково взаимное расположение графиков функций; 3) каковы координаты пересечения каждого графика с осями координат? Решение: 1) Угловой коэффициент \(k\) — это числовой множитель при \(x\). Для функции \(y = -\frac{1}{3}x + 1\), угловой коэффициент \(k = -\frac{1}{3}\). Для функции \(y = -\frac{1}{3}x - 2\), угловой коэффициент \(k = -\frac{1}{3}\). Для функции \(y = -\frac{1}{3}x\), угловой коэффициент \(k = -\frac{1}{3}\). 2) Так как угловые коэффициенты всех трех прямых равны (\(k = -\frac{1}{3}\)), то эти прямые параллельны друг другу. 3) Координаты пересечения с осями координат: Для функции \(y = -\frac{1}{3}x + 1\): Пересечение с осью \(Oy\) (когда \(x = 0\)): \(y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 1\) \(y = 1\) Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; 1)\). Пересечение с осью \(Ox\) (когда \(y = 0\)): \(0 = -\frac{1}{3}x + 1\) \(\frac{1}{3}x = 1\) \(x = 3\) Точка пересечения с осью \(Ox\): \((3; 0)\). Для функции \(y = -\frac{1}{3}x - 2\): Пересечение с осью \(Oy\) (когда \(x = 0\)): \(y = -\frac{1}{3} \cdot 0 - 2\) \(y = -2\) Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; -2)\). Пересечение с осью \(Ox\) (когда \(y = 0\)): \(0 = -\frac{1}{3}x - 2\) \(\frac{1}{3}x = -2\) \(x = -6\) Точка пересечения с осью \(Ox\): \((-6; 0)\). Для функции \(y = -\frac{1}{3}x\): Пересечение с осью \(Oy\) (когда \(x = 0\)): \(y = -\frac{1}{3} \cdot 0\) \(y = 0\) Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; 0)\). Пересечение с осью \(Ox\) (когда \(y = 0\)): \(0 = -\frac{1}{3}x\) \(x = 0\) Точка пересечения с осью \(Ox\): \((0; 0)\). (Эта прямая проходит через начало координат). (Для построения графиков нужно выбрать две точки для каждой прямой. Например, для \(y = -\frac{1}{3}x + 1\): \((0; 1)\) и \((3; 0)\). Для \(y = -\frac{1}{3}x - 2\): \((0; -2)\) и \((-6; 0)\). Для \(y = -\frac{1}{3}x\): \((0; 0)\) и \((3; -1)\) или \((-3; 1)\)). 2. Постройте в одной системе координат графики функций \(y = x - 2\), \(y = -2x - 2\), \(y = -2\). Ответьте на вопросы: 1) в какой точке каждый график пересекает ось \(y\), ось \(x\); 2) каково взаимное расположение графиков? Решение: 1) Точки пересечения с осями координат: Для функции \(y = x - 2\): Пересечение с осью \(Oy\) (когда \(x = 0\)): \(y = 0 - 2\) \(y = -2\) Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; -2)\). Пересечение с осью \(Ox\) (когда \(y = 0\)): \(0 = x - 2\) \(x = 2\) Точка пересечения с осью \(Ox\): \((2; 0)\). Для функции \(y = -2x - 2\): Пересечение с осью \(Oy\) (когда \(x = 0\)): \(y = -2 \cdot 0 - 2\) \(y = -2\) Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; -2)\). Пересечение с осью \(Ox\) (когда \(y = 0\)): \(0 = -2x - 2\) \(2x = -2\) \(x = -1\) Точка пересечения с осью \(Ox\): \((-1; 0)\). Для функции \(y = -2\): Пересечение с осью \(Oy\) (когда \(x = 0\)): \(y = -2\) Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; -2)\). (Эта прямая параллельна оси \(Ox\) и проходит через точку \((0; -2)\)). Пересечение с осью \(Ox\) (когда \(y = 0\)): \(0 = -2\) Это неверно, значит, прямая \(y = -2\) не пересекает ось \(Ox\). 2) Взаимное расположение графиков: Угловые коэффициенты: Для \(y = x - 2\), \(k_1 = 1\). Для \(y = -2x - 2\), \(k_2 = -2\). Для \(y = -2\), \(k_3 = 0\) (это горизонтальная прямая). Так как угловые коэффициенты всех трех прямых различны, то эти прямые не параллельны друг другу. Все три прямые пересекаются в одной точке \((0; -2)\). Прямая \(y = -2\) параллельна оси \(Ox\). (Для построения графиков: Для \(y = x - 2\): \((0; -2)\) и \((2; 0)\). Для \(y = -2x - 2\): \((0; -2)\) и \((-1; 0)\). Для \(y = -2\): прямая, проходящая через \((0; -2)\) и параллельная оси \(Ox\)). 3. В одной системе координат постройте графики функций, вычислив координаты точек пересечения графиков с осями: \(y = 3x - 6\), \(y = -3x - 6\), \(y = 3x + 6\), \(y = -3x + 6\). Укажите пары параллельных прямых. Решение: Координаты точек пересечения с осями: Для функции \(y = 3x - 6\): С осью \(Oy\) (\(x = 0\)): \(y = 3 \cdot 0 - 6 = -6\). Точка: \((0; -6)\). С осью \(Ox\) (\(y = 0\)): \(0 = 3x - 6 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\). Точка: \((2; 0)\). Для функции \(y = -3x - 6\): С осью \(Oy\) (\(x = 0\)): \(y = -3 \cdot 0 - 6 = -6\). Точка: \((0; -6)\). С осью \(Ox\) (\(y = 0\)): \(0 = -3x - 6 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2\). Точка: \((-2; 0)\). Для функции \(y = 3x + 6\): С осью \(Oy\) (\(x = 0\)): \(y = 3 \cdot 0 + 6 = 6\). Точка: \((0; 6)\). С осью \(Ox\) (\(y = 0\)): \(0 = 3x + 6 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2\). Точка: \((-2; 0)\). Для функции \(y = -3x + 6\): С осью \(Oy\) (\(x = 0\)): \(y = -3 \cdot 0 + 6 = 6\). Точка: \((0; 6)\). С осью \(Ox\) (\(y = 0\)): \(0 = -3x + 6 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\). Точка: \((2; 0)\). Пары параллельных прямых: Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловые коэффициенты: \(y = 3x - 6 \Rightarrow k_1 = 3\) \(y = -3x - 6 \Rightarrow k_2 = -3\) \(y = 3x + 6 \Rightarrow k_3 = 3\) \(y = -3x + 6 \Rightarrow k_4 = -3\) Пары параллельных прямых: 1. \(y = 3x - 6\) и \(y = 3x + 6\) (так как \(k_1 = k_3 = 3\)). 2. \(y = -3x - 6\) и \(y = -3x + 6\) (так как \(k_2 = k_4 = -3\)). (Для построения графиков используйте найденные точки пересечения с осями). 4. Пересекаются ли графики функций \(y = 2x - 4\) и \(y = -4x + 2\); \(y = 2x - 3\) и \(y = 2x + 3\)? В том случае, когда графики пересекаются, постройте их. Определите по графику координаты точки пересечения и проверьте результаты вычислением. Решение: Первая пара функций: \(y = 2x - 4\) и \(y = -4x + 2\). Угловые коэффициенты: \(k_1 = 2\), \(k_2 = -4\). Так как \(k_1 \neq k_2\), графики пересекаются. Найдем точку пересечения вычислением: Приравняем правые части уравнений: \(2x - 4 = -4x + 2\) \(2x + 4x = 2 + 4\) \(6x = 6\) \(x = 1\) Подставим \(x = 1\) в любое из уравнений, чтобы найти \(y\): \(y = 2 \cdot 1 - 4\) \(y = 2 - 4\) \(y = -2\) Точка пересечения: \((1; -2)\). Построение графиков: Для \(y = 2x - 4\): При \(x = 0\), \(y = -4\). Точка \((0; -4)\). При \(y = 0\), \(2x = 4 \Rightarrow x = 2\). Точка \((2; 0)\). Для \(y = -4x + 2\): При \(x = 0\), \(y = 2\). Точка \((0; 2)\). При \(y = 0\), \(-4x = -2 \Rightarrow x = 0.5\). Точка \((0.5; 0)\). (На графике эти две прямые должны пересечься в точке \((1; -2)\)). Вторая пара функций: \(y = 2x - 3\) и \(y = 2x + 3\). Угловые коэффициенты: \(k_1 = 2\), \(k_2 = 2\). Так как угловые коэффициенты равны (\(k_1 = k_2 = 2\)), а свободные члены различны (\(-3 \neq 3\)), графики параллельны и не пересекаются. (Для построения графиков: Для \(y = 2x - 3\): При \(x = 0\), \(y = -3\). Точка \((0; -3)\). При \(y = 0\), \(2x = 3 \Rightarrow x = 1.5\). Точка \((1.5; 0)\). Для \(y = 2x + 3\): При \(x = 0\), \(y = 3\). Точка \((0; 3)\). При \(y = 0\), \(2x = -3 \Rightarrow x = -1.5\). Точка \((-1.5; 0)\). На графике эти две прямые будут параллельны). 5. Задайте формулой линейную функцию, если известны угловой коэффициент \(k\) соответствующей прямой и координаты точки \(A\), через которую она проходит: а) \(k = \frac{2}{3}\), \(A(-6; -3)\); б) \(k = -4\), \(A(2; 7)\). Решение: Общий вид линейной функции: \(y = kx + b\). Чтобы найти формулу функции, нужно определить значение \(b\). Для этого подставим известные значения \(k\), \(x\) и \(y\) (координаты точки \(A\)) в уравнение. а) Дано: \(k = \frac{2}{3}\), \(A(-6; -3)\). Подставим \(k = \frac{2}{3}\), \(x = -6\), \(y = -3\) в уравнение \(y = kx + b\): \(-3 = \frac{2}{3} \cdot (-6) + b\) \(-3 = -4 + b\) \(b = -3 + 4\) \(b = 1\) Формула линейной функции: \(y = \frac{2}{3}x + 1\). б) Дано: \(k = -4\), \(A(2; 7)\). Подставим \(k = -4\), \(x = 2\), \(y = 7\) в уравнение \(y = kx + b\): \(7 = -4 \cdot 2 + b\) \(7 = -8 + b\) \(b = 7 + 8\) \(b = 15\) Формула линейной функции: \(y = -4x + 15\).