Решение системы уравнений: x/y + y/x = 10/3, x - y = 6

Решение системы уравнений: \[ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3} \\ x - y = 6 \end{cases} \] (Примечание: на фото в первом уравнении число выглядит как \( \frac{10}{3} \), решим исходя из этого значения). 1. Рассмотрим первое уравнение системы: \[ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3} \] Введем замену переменной: пусть \( \frac{x}{y} = t \). Тогда \( \frac{y}{x} = \frac{1}{t} \). Уравнение примет вид: \[ t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3} \] Умножим обе части уравнения на \( 3t \) (при условии \( t \neq 0 \)): \[ 3t^2 + 3 = 10t \] \[ 3t^2 - 10t + 3 = 0 \] 2. Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \] \[ t_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ t_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] 3. Вернемся к замене: Случай 1: \( \frac{x}{y} = 3 \Rightarrow x = 3y \) Подставим во второе уравнение системы \( x - y = 6 \): \[ 3y - y = 6 \] \[ 2y = 6 \] \[ y_1 = 3 \] Тогда \( x_1 = 3 \cdot 3 = 9 \). Случай 2: \( \frac{x}{y} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = 3x \) Подставим во второе уравнение системы \( x - y = 6 \): \[ x - 3x = 6 \] \[ -2x = 6 \] \[ x_2 = -3 \] Тогда \( y_2 = 3 \cdot (-3) = -9 \). 4. Проверка: Для пары (9; 3): \( \frac{9}{3} + \frac{3}{9} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \) (верно), \( 9 - 3 = 6 \) (верно). Для пары (-3; -9): \( \frac{-3}{-9} + \frac{-9}{-3} = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3} \) (верно), \( -3 - (-9) = 6 \) (верно). Ответ: \( (9; 3), (-3; -9) \).