Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.
Задача №5
В задачах на основании опытных данных, полученных при исследовании поверхностного натяжения указанного водного раствора ПАВ при 20°C, рассчитайте площадь, занимаемую одной молекулой ПАВ и толщину адсорбционного монослоя графическим способом.
ПАВ - гексанол.
Таблица данных:
| c · 103, Моль/л |
0,0 |
0,100 |
0,631 |
1,260 |
2,51 |
3,98 |
6,31 |
10,00 |
| σ · 103, Дж/м2 |
72,75 |
70,00 |
69,40 |
67,90 |
64,40 |
60,50 |
55,40 |
50,70 |
Решение:
Для решения этой задачи нам потребуется использовать уравнение Гиббса для адсорбции и построить график зависимости поверхностного натяжения от концентрации.
1. Построение графика зависимости поверхностного натяжения от концентрации.
Нам нужно построить график зависимости поверхностного натяжения \(\sigma\) от логарифма концентрации \(\ln c\).
Сначала пересчитаем концентрации в моль/м
3 и найдем их натуральные логарифмы.
Молярная масса гексанола (C
6H
13OH):
\(M = 6 \cdot 12,01 + 14 \cdot 1,008 + 16,00 = 72,06 + 14,112 + 16,00 = 102,172 \text{ г/моль}\)
или \(0,102172 \text{ кг/моль}\).
Переведем концентрации из моль/л в моль/м
3, умножив на 1000.
Например, для \(c = 0,100 \cdot 10^{-3} \text{ моль/л}\):
\(c = 0,100 \cdot 10^{-3} \cdot 1000 = 0,100 \text{ моль/м}^3\).
Новая таблица с концентрациями в моль/м
3 и их логарифмами:
| c, моль/м3 |
0,0 |
0,100 |
0,631 |
1,260 |
2,51 |
3,98 |
6,31 |
10,00 |
| \(\ln c\) |
- |
-2,30 |
-0,46 |
0,23 |
0,92 |
1,38 |
1,84 |
2,30 |
| \(\sigma \cdot 10^3\), Дж/м2 |
72,75 |
70,00 |
69,40 |
67,90 |
64,40 |
60,50 |
55,40 |
50,70 |
(Для \(c=0\) логарифм не определен, эта точка соответствует чистому растворителю).
Построим график зависимости \(\sigma\) от \(\ln c\). На оси абсцисс откладываем \(\ln c\), на оси ординат – \(\sigma\).
(Здесь должен быть график. Школьнику нужно начертить его на миллиметровой бумаге, отложив точки и соединив их плавной кривой).
2. Определение величины адсорбции \(\Gamma\) по уравнению Гиббса.
Уравнение Гиббса для адсорбции имеет вид:
\[\Gamma = -\frac{1}{RT} \left( \frac{d\sigma}{d\ln c} \right)_T\]
где:
\(\Gamma\) – адсорбция (моль/м
2);
\(R\) – универсальная газовая постоянная (\(8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}\));
\(T\) – абсолютная температура (\(20^\circ\text{C} = 293,15 \text{ К}\));
\(\left( \frac{d\sigma}{d\ln c} \right)_T\) – тангенс угла наклона касательной к изотерме поверхностного натяжения \(\sigma = f(\ln c)\).
Из графика находим участок, где зависимость \(\sigma\) от \(\ln c\) становится линейной (или почти линейной). Это соответствует насыщению адсорбционного слоя. Выберем две точки на этом линейном участке, например, соответствующие концентрациям \(c = 6,31 \text{ моль/м}^3\) и \(c = 10,00 \text{ моль/м}^3\).
Для этих точек:
\(\ln c_1 = 1,84\), \(\sigma_1 = 55,40 \cdot 10^{-3} \text{ Дж/м}^2\)
\(\ln c_2 = 2,30\), \(\sigma_2 = 50,70 \cdot 10^{-3} \text{ Дж/м}^2\)
Рассчитаем тангенс угла наклона:
\[\frac{d\sigma}{d\ln c} \approx \frac{\Delta\sigma}{\Delta\ln c} = \frac{(50,70 - 55,40) \cdot 10^{-3}}{(2,30 - 1,84)} = \frac{-4,70 \cdot 10^{-3}}{0,46} \approx -10,22 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}\]
Теперь подставим значения в уравнение Гиббса:
\[\Gamma = -\frac{1}{8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 293,15 \text{ К}} \cdot (-10,22 \cdot 10^{-3} \text{ Дж})\]
\[\Gamma = -\frac{1}{2437,7} \cdot (-10,22 \cdot 10^{-3}) \text{ моль/м}^2\]
\[\Gamma \approx 4,19 \cdot 10^{-6} \text{ моль/м}^2\]
Это значение адсорбции при насыщении \(\Gamma_{\text{max}}\).
3. Расчет площади, занимаемой одной молекулой ПАВ (\(S_0\)).
Площадь, занимаемая одной молекулой, рассчитывается по формуле:
\[S_0 = \frac{1}{N_A \cdot \Gamma_{\text{max}}}\]
где:
\(N_A\) – число Авогадро (\(6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}\)).
\[S_0 = \frac{1}{6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \cdot 4,19 \cdot 10^{-6} \text{ моль/м}^2}\]
\[S_0 = \frac{1}{25,23 \cdot 10^{17}} \text{ м}^2\]
\[S_0 \approx 0,0396 \cdot 10^{-17} \text{ м}^2\]
\[S_0 \approx 39,6 \cdot 10^{-21} \text{ м}^2\]
Часто площадь выражают в ангстремах в квадрате (\(\text{Å}^2\)), где \(1 \text{ м}^2 = 10^{20} \text{ Å}^2\).
\[S_0 \approx 39,6 \text{ Å}^2\]
4. Расчет толщины адсорбционного монослоя (\(\delta\)).
Толщину монослоя можно оценить, зная объем, занимаемый одной молекулой, или используя плотность ПАВ.
Предположим, что молекулы ПАВ в монослое плотно упакованы. Тогда объем, занимаемый одной молекулой, можно приближенно рассчитать как \(V_{\text{мол}} = S_0 \cdot \delta\).
Также мы знаем, что \(\Gamma_{\text{max}}\) – это количество молей ПАВ на единицу площади.
Масса ПАВ на единицу площади: \(m_{\text{ПАВ}} = \Gamma_{\text{max}} \cdot M\), где \(M\) – молярная масса гексанола.
\(M = 102,172 \text{ г/моль} = 0,102172 \text{ кг/моль}\).
\(m_{\text{ПАВ}} = 4,19 \cdot 10^{-6} \text{ моль/м}^2 \cdot 0,102172 \text{ кг/моль} \approx 4,28 \cdot 10^{-7} \text{ кг/м}^2\).
Толщина слоя \(\delta\) связана с массой на единицу площади и плотностью ПАВ (\(\rho\)) по формуле:
\[\delta = \frac{m_{\text{ПАВ}}}{\rho}\]
Плотность гексанола при 20°C составляет примерно \(0,818 \text{ г/см}^3 = 818 \text{ кг/м}^3\).
\[\delta = \frac{4,28 \cdot 10^{-7} \text{ кг/м}^2}{818 \text{ кг/м}^3}\]
\[\delta \approx 5,23 \cdot 10^{-10} \text{ м}\]
\[\delta \approx 0,523 \text{ нм}\]
или
\[\delta \approx 5,23 \text{ Å}\]
Ответ:
Площадь, занимаемая одной молекулой гексанола, \(S_0 \approx 39,6 \cdot 10^{-21} \text{ м}^2\) (или \(39,6 \text{ Å}^2\)).
Толщина адсорбционного монослоя гексанола \(\delta \approx 5,23 \cdot 10^{-10} \text{ м}\) (или \(5,23 \text{ Å}\)).
