Решение экзаменационного билета №12 по математике

Ниже представлено решение экзаменационного билета № 12, оформленное для записи в тетрадь. Уровень I 1. Упростите выражение: \(\log_{6} 72 - \log_{6} 14 + \log_{6} 7\) Решение: Используем свойства логарифмов: \(\log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c}\) и \(\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b \cdot c)\). \[ \log_{6} 72 - \log_{6} 14 + \log_{6} 7 = \log_{6} \left( \frac{72 \cdot 7}{14} \right) = \log_{6} \left( \frac{72}{2} \right) = \log_{6} 36 = 2 \] Ответ: 2. 2. Найти корень уравнения: \((\frac{1}{3})^{5x+2} = 27\) Решение: Приведем обе части уравнения к основанию 3. \[ (3^{-1})^{5x+2} = 3^3 \] \[ 3^{-5x-2} = 3^3 \] Так как основания равны, приравниваем показатели: \[ -5x - 2 = 3 \] \[ -5x = 5 \] \[ x = -1 \] Ответ: -1. 3. Решите неравенство: \(\frac{x+7}{(2x-3)(x-1)} \geq 0\) Решение: Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: Числитель: \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\) (точка закрашенная). Знаменатель: \(2x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1,5\); \(x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\) (точки выколотые). Отметим точки на прямой и определим знаки на интервалах: На интервале \((1,5; +\infty)\) выражение положительно. Знаки чередуются: \([-7; 1) \cup (1,5; +\infty)\). Ответ: \(x \in [-7; 1) \cup (1,5; +\infty)\). 4. Найдите значение выражения: \((\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}}\) Решение: \[ (\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}} = (16)^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \] Ответ: 8. 5. Найдите область определения функции: \(y = \frac{\sqrt{-8x-7}}{x}\) Решение: Область определения задается системой условий: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не равен нулю. \[ \begin{cases} -8x - 7 \geq 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -8x \geq 7 \\ x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq -0,875 \\ x \neq 0 \end{cases} \] Так как \(-0,875 < 0\), условие \(x \neq 0\) выполняется автоматически. Ответ: \(D(y) = (-\infty; -0,875]\). 6. Вычислите: \(\frac{8+i}{2-3i}\) Решение: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число \((2+3i)\): \[ \frac{(8+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{16 + 24i + 2i + 3i^2}{4 - 9i^2} \] Так как \(i^2 = -1\): \[ \frac{16 + 26i - 3}{4 + 9} = \frac{13 + 26i}{13} = \frac{13}{13} + \frac{26i}{13} = 1 + 2i \] Ответ: \(1 + 2i\). Уровень II 7. Решите уравнение: \(3^{2x+1} - 4 \cdot 3^x + 1 = 0\) Решение: Преобразуем уравнение: \(3 \cdot (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 1 = 0\). Пусть \(3^x = t\), где \(t > 0\). \[ 3t^2 - 4t + 1 = 0 \] \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4\). \[ t_1 = \frac{4+2}{6} = 1; \quad t_2 = \frac{4-2}{6} = \frac{1}{3} \] Вернемся к замене: 1) \(3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x_1 = 0\) 2) \(3^x = \frac{1}{3} \Rightarrow 3^x = 3^{-1} \Rightarrow x_2 = -1\) Ответ: -1; 0. 8. Решите неравенство: \(\log_{0,2} (4x-1) < \log_{0,2} (x+1)\) Решение: Учитываем ОДЗ: \(4x-1 > 0\) и \(x+1 > 0\), откуда \(x > 0,25\). Так как основание логарифма \(0,2 < 1\), при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: \[ 4x - 1 > x + 1 \] \[ 3x > 2 \] \[ x > \frac{2}{3} \] С учетом ОДЗ (\(x > 0,25\)), решением является \(x > \frac{2}{3}\). Ответ: \((\frac{2}{3}; +\infty)\).